Dokaz da vrednost izraza ne zavisi od a, b i alfa

Koristeći pravila za svođenje na prvi kvadrant, pojednostavljujemo trigonometrijske funkcije u izrazu.

\begin{aligned} \text{tg}(\pi + \alpha) &= \text{tg}\alpha \\ \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) &= -\text{tg}\alpha \\ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) &= \text{ctg}\alpha \\ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) &= -\text{ctg}\alpha \\ \text{tg}(2\pi - \alpha) &= -\text{tg}\alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz.

\frac{a^2 \text{tg}\alpha + b^2 (-\text{tg}\alpha)}{a \text{ctg}\alpha + b (-\text{ctg}\alpha)} - (a + b) (-\text{tg}\alpha)^2

Izdvajamo zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu razlomka, a kvadrat negativnog tangensa postaje pozitivan.

\frac{\text{tg}\alpha (a^2 - b^2)}{\text{ctg}\alpha (a - b)} - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ u brojiocu.

\frac{\text{tg}\alpha (a - b)(a + b)}{\text{ctg}\alpha (a - b)} - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Skraćujemo razlomak sa $a - b$ (pod uslovom da je $a \neq b$ ).

\frac{(a + b)\text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha} - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Znamo da važi $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} ,$ pa se razlomak $\frac{\text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha}$ može zapisati kao $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = \text{tg}^2\alpha .$

(a + b)\text{tg}^2\alpha - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Oduzimanjem ova dva ista člana dobijamo konačan rezultat.

0

Pošto je vrednost izraza jednaka nuli, dokazali smo da ona ne zavisi od vrednosti parametara $a, b$ i ugla $\alpha .$

Započni učenje

Online časovi

635

Beleške