2417.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Dokazati da vrednost izraza a2tg(π+α)+b2ctg(3π2+α)atg(π2−α)+btg(3π2+α)−(a+b)tg2(2π−α) \frac{a^2 \text{tg}(\pi + \alpha) + b^2 \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{a \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + b \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} - (a + b) \text{tg}^2(2\pi - \alpha) ne zavisi od a,b,α∈R. a, b, \alpha \in \mathbb{R} .

REŠENJE ZADATKA

Koristeći pravila za svođenje na prvi kvadrant, pojednostavljujemo trigonometrijske funkcije u izrazu.

tg(π+α)=tgαctg(3π2+α)=−tgαtg(π2−α)=ctgαtg(3π2+α)=−ctgαtg(2π−α)=−tgα\begin{aligned} \text{tg}(\pi + \alpha) &= \text{tg}\alpha \\ \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) &= -\text{tg}\alpha \\ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) &= \text{ctg}\alpha \\ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) &= -\text{ctg}\alpha \\ \text{tg}(2\pi - \alpha) &= -\text{tg}\alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz.

a2tgα+b2(−tgα)actgα+b(−ctgα)−(a+b)(−tgα)2\frac{a^2 \text{tg}\alpha + b^2 (-\text{tg}\alpha)}{a \text{ctg}\alpha + b (-\text{ctg}\alpha)} - (a + b) (-\text{tg}\alpha)^2

Izdvajamo zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu razlomka, a kvadrat negativnog tangensa postaje pozitivan.

tgα(a2−b2)ctgα(a−b)−(a+b)tg2α\frac{\text{tg}\alpha (a^2 - b^2)}{\text{ctg}\alpha (a - b)} - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) u brojiocu.

tgα(a−b)(a+b)ctgα(a−b)−(a+b)tg2α\frac{\text{tg}\alpha (a - b)(a + b)}{\text{ctg}\alpha (a - b)} - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Skraćujemo razlomak sa a−b a - b (pod uslovom da je a≠b a \neq b ).

(a+b)tgαctgα−(a+b)tg2α\frac{(a + b)\text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha} - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Znamo da važi ctgα=1tgα, \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} , pa se razlomak tgαctgα \frac{\text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha} može zapisati kao tgα⋅tgα=tg2α. \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = \text{tg}^2\alpha .

(a+b)tg2α−(a+b)tg2α(a + b)\text{tg}^2\alpha - (a + b) \text{tg}^2\alpha

Oduzimanjem ova dva ista člana dobijamo konačan rezultat.

00

Pošto je vrednost izraza jednaka nuli, dokazali smo da ona ne zavisi od vrednosti parametara a,b a, b i ugla α. \alpha .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti