2422.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

cos⁡17π6⋅sin⁡7π3⋅tg17π4ctg10π3⋅cos⁡7π4⋅sin⁡8π3\frac{\cos \frac{17\pi}{6} \cdot \sin \frac{7\pi}{3} \cdot \text{tg} \frac{17\pi}{4}}{\text{ctg} \frac{10\pi}{3} \cdot \cos \frac{7\pi}{4} \cdot \sin \frac{8\pi}{3}}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili izraz, prvo ćemo svesti sve uglove na osnovni period koristeći periodičnost trigonometrijskih funkcija. Za sinus i kosinus period je 2π, 2\pi , a za tangens i kotangens period je π. \pi .

Računamo vrednost za cos⁡17π6: \cos \frac{17\pi}{6} :

cos⁡17π6=cos⁡(2π+5π6)=cos⁡5π6=−32\cos \frac{17\pi}{6} = \cos \left( 2\pi + \frac{5\pi}{6} \right) = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Računamo vrednost za sin⁡7π3: \sin \frac{7\pi}{3} :

sin⁡7π3=sin⁡(2π+π3)=sin⁡π3=32\sin \frac{7\pi}{3} = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Računamo vrednost za tg17π4: \text{tg} \frac{17\pi}{4} :

tg17π4=tg(4π+π4)=tgπ4=1\text{tg} \frac{17\pi}{4} = \text{tg} \left( 4\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1

Računamo vrednost za ctg10π3: \text{ctg} \frac{10\pi}{3} :

ctg10π3=ctg(3π+π3)=ctgπ3=33\text{ctg} \frac{10\pi}{3} = \text{ctg} \left( 3\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \text{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Računamo vrednost za cos⁡7π4: \cos \frac{7\pi}{4} :

cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=cos⁡(−π4)=cos⁡π4=22\cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left( 2\pi - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Računamo vrednost za sin⁡8π3: \sin \frac{8\pi}{3} :

sin⁡8π3=sin⁡(2π+2π3)=sin⁡2π3=32\sin \frac{8\pi}{3} = \sin \left( 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz:

−32⋅32⋅133⋅22⋅32\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}

Množimo vrednosti u brojiocu i imeniocu:

−343212=−3424\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{3\sqrt{2}}{12}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}

Skraćujemo razlomak i racionališemo imenilac kako bismo dobili konačan rezultat:

−32=−32⋅22=−322-\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti