2421.

639.a

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

sin⁡750∘⋅cos⁡390∘⋅tg1140∘ctg405∘⋅sin⁡1860∘⋅cos⁡780∘\frac{\sin 750^\circ \cdot \cos 390^\circ \cdot \text{tg} 1140^\circ}{\text{ctg} 405^\circ \cdot \sin 1860^\circ \cdot \cos 780^\circ}
REŠENJE ZADATKA

Koristimo periodičnost trigonometrijskih funkcija. Za sinus i kosinus osnovni period je 360∘, 360^\circ , dok je za tangens i kotangens osnovni period 180∘. 180^\circ .

sin⁡(α+k⋅360∘)=sin⁡αcos⁡(α+k⋅360∘)=cos⁡αtg(α+k⋅180∘)=tgαctg(α+k⋅180∘)=ctgα\begin{aligned} \sin(\alpha + k \cdot 360^\circ) &= \sin \alpha \\ \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ) &= \cos \alpha \\ \text{tg}(\alpha + k \cdot 180^\circ) &= \text{tg} \alpha \\ \text{ctg}(\alpha + k \cdot 180^\circ) &= \text{ctg} \alpha \end{aligned}

Računamo vrednost za sin⁡750∘. \sin 750^\circ .

sin⁡750∘=sin⁡(2⋅360∘+30∘)=sin⁡30∘=12\sin 750^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

Računamo vrednost za cos⁡390∘. \cos 390^\circ .

cos⁡390∘=cos⁡(360∘+30∘)=cos⁡30∘=32\cos 390^\circ = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Računamo vrednost za tg1140∘. \text{tg} 1140^\circ .

tg1140∘=tg(6⋅180∘+60∘)=tg60∘=3\text{tg} 1140^\circ = \text{tg}(6 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}

Računamo vrednost za ctg405∘. \text{ctg} 405^\circ .

ctg405∘=ctg(2⋅180∘+45∘)=ctg45∘=1\text{ctg} 405^\circ = \text{ctg}(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \text{ctg} 45^\circ = 1

Računamo vrednost za sin⁡1860∘. \sin 1860^\circ .

sin⁡1860∘=sin⁡(5⋅360∘+60∘)=sin⁡60∘=32\sin 1860^\circ = \sin(5 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Računamo vrednost za cos⁡780∘. \cos 780^\circ .

cos⁡780∘=cos⁡(2⋅360∘+60∘)=cos⁡60∘=12\cos 780^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz.

12⋅32⋅31⋅32⋅12\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}

Množimo razlomke u brojiocu i imeniocu, a zatim sređujemo dvojni razlomak.

3434=33=333=3\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}