78. Složeni izvod | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Odrediti izvod:

(\ln{\frac{e^x+x}{e^x-x}})'

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti u formulu izvoda složene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x),$ gde su: unutrašnja funkcija $g(x)=\frac{e^x+x}{e^x-x}$ i spoljašnja funkcija $f(u)=\ln{u} ,$ pri čemu je $u=g(x).$

(\ln{\frac{e^x+x}{e^x-x}})' = \frac{e^x-x}{e^x+x} \cdot (\frac{e^x+x}{e^x-x})'

DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvod spoljašnje funkcije po $u$ dobija se primenom tabličnog izvoda: $(\ln{x})' = \frac{1}{x}$

f'(u) = (\ln{u})'= \frac{1}{u}

Zameniti $u=\frac{e^x+x}{e^x-x}$

f'(g(x)) = \frac{1}{\frac{e^x+x}{e^x-x}} = \frac{e^x-x}{e^x+x}

Primeniti formulu za izvod količnika: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$

\frac{e^x-x}{e^x+x} \cdot \frac{(e^x+x)'(e^x-x)-(e^x+x)(e^x-x)'}{(e^x-x)^2}

Srediti izraz.

\frac{(e^x+x)'(e^x-x)-(e^x+x)(e^x-x)'}{(e^x+x)(e^x-x)}

Primeniti tablične izvode: $(e^x)' = e^x \quad$ i $\quad (x)' = 1$

\frac{(e^x+1)(e^x-x)-(e^x+x)(e^x-1)}{(e^x+x)(e^x-x)}

Pomnožiti zagrade.

\frac{e^{2x} - xe^{x} + e^{x} - x - (e^{2x} - e^{x} + xe^{x} - x) }{e^{2x}-x^{2}}

Srediti izraz.

\frac{ -2xe^{x} +2e^{x} }{e^{2x}-x^{2}} = \frac{2e^x \cdot (1 -x)}{e^{2x}-x^2}

Složeni izvod 8