3150. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti:

A \cup (B \setminus C) = (A \cup B) \setminus (C \setminus A)

REŠENJE ZADATKA

Za dokazivanje ove jednakosti koristićemo definiciju razlike skupova: $X \setminus Y = X \cap Y^c .$

Transformišemo levu stranu jednakosti primenom definicije razlike skupova:

A \cup (B \setminus C) = A \cup (B \cap C^c)

Primenjujemo distributivni zakon za uniju u odnosu na presek na dobijeni izraz:

A \cup (B \cap C^c) = (A \cup B) \cap (A \cup C^c)

Sada transformišemo desnu stranu jednakosti. Prvo primenjujemo definiciju razlike na unutrašnju zagradu, a zatim na spoljašnju:

(A \cup B) \setminus (C \setminus A) = (A \cup B) \cap (C \cap A^c)^c

Primenjujemo De Morganov zakon na izraz $(C \cap A^c)^c :$

(C \cap A^c)^c = C^c \cup (A^c)^c

Kako je komplement komplementa sam skup ( $(A^c)^c = A$ ), a unija je komutativna operacija, dobijamo:

C^c \cup (A^c)^c = C^c \cup A = A \cup C^c

Zamenjujemo dobijeni rezultat nazad u izraz za desnu stranu:

(A \cup B) \cap (C \cap A^c)^c = (A \cup B) \cap (A \cup C^c)

Upoređivanjem transformisane leve i desne strane, vidimo da su izrazi identični, čime je jednakost dokazana:

A \cup (B \setminus C) = (A \cup B) \setminus (C \setminus A)

51.g