3149. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti: $(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost dva skupa, možemo koristiti logičke ekvivalencije i definicije skupovnih operacija za proizvoljan element $x .$

Krenućemo od leve strane jednakosti. Po definiciji razlike skupova, element $x$ pripada skupu $(A \cup B) \setminus C$ ako i samo ako pripada skupu $A \cup B$ i ne pripada skupu $C .$

x \in (A \cup B) \setminus C \iff x \in (A \cup B) \land x \notin C

Po definiciji unije skupova, $x \in A \cup B$ znači da $x \in A$ ili $x \in B .$

\iff (x \in A \lor x \in B) \land x \notin C

Primenjujemo zakon distributivnosti konjunkcije prema disjunkciji: $(p \lor q) \land r \iff (p \land r) \lor (q \land r) .$

\iff (x \in A \land x \notin C) \lor (x \in B \land x \notin C)

Prepoznajemo definiciju razlike skupova u obe zagrade: $x \in A \land x \notin C$ znači $x \in A \setminus C ,$ a $x \in B \land x \notin C$ znači $x \in B \setminus C .$

\iff x \in (A \setminus C) \lor x \in (B \setminus C)

Na kraju, po definiciji unije, disjunkcija znači da element pripada uniji ova dva skupa.

\iff x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C)

Pošto su svi koraci ekvivalencije, dokazali smo da svaki element koji pripada levoj strani pripada i desnoj, i obrnuto, čime je jednakost dokazana.

(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)

51.a