3122.

36.b

TEKST ZADATKA

Zadati su skupovi A={x∈N∣x>2∧x<5}, A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 2 \land x < 5\} , B={x∈Z∣∣x∣=2}, B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 2\} , C={x∈N∣x<4∧x<6} C = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 4 \land x < 6\} i D={x∈Z∣x2−1=0}. D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 1 = 0\} . Odrediti skupove: b) (A∖C)∩(D∩B) (A \setminus C) \cap (D \cap B)

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente skupa A. A . To su prirodni brojevi strogo veći od 2 i strogo manji od 5.

A={3,4}A = \{3, 4\}

Pre određivanja elemenata skupa B, B , definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću.

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Rešavamo jednačinu ∣x∣=2 |x| = 2 u skupu celih brojeva. Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, rešenja su x=2 x = 2 i x=−2. x = -2 .

B={−2,2}B = \{-2, 2\}

Određujemo elemente skupa C. C . To su prirodni brojevi koji su istovremeno manji od 4 i manji od 6, što znači da moraju biti manji od 4. Prirodni brojevi manji od 4 su 1, 2 i 3.

C={1,2,3}C = \{1, 2, 3\}

Određujemo elemente skupa D. D . Rešavamo jednačinu x2−1=0 x^2 - 1 = 0 u skupu celih brojeva.

x2=1  ⟹  x=1∨x=−1x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1

Zapisujemo elemente skupa D. D .

D={−1,1}D = \{-1, 1\}

Sada računamo razliku skupova A∖C. A \setminus C . To su elementi koji pripadaju skupu A, A , ali ne pripadaju skupu C. C .

A∖C={3,4}∖{1,2,3}={4}A \setminus C = \{3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}

Računamo presek skupova D∩B. D \cap B . To su elementi koji se nalaze i u skupu D D i u skupu B. B .

D∩B={−1,1}∩{−2,2}=∅D \cap B = \{-1, 1\} \cap \{-2, 2\} = \emptyset

Konačno, računamo presek dobijenih skupova (A∖C)∩(D∩B). (A \setminus C) \cap (D \cap B) .

(A∖C)∩(D∩B)={4}∩∅=∅(A \setminus C) \cap (D \cap B) = \{4\} \cap \emptyset = \emptyset