3122. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Zadati su skupovi $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 2 \land x < 5\} ,$ $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 2\} ,$ $C = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 4 \land x < 6\}$ i $D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 1 = 0\} .$ Odrediti skupove: b) $(A \setminus C) \cap (D \cap B)$

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente skupa $A .$ To su prirodni brojevi strogo veći od 2 i strogo manji od 5.

A = \{3, 4\}

Pre određivanja elemenata skupa $B ,$ definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću.

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Rešavamo jednačinu $|x| = 2$ u skupu celih brojeva. Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, rešenja su $x = 2$ i $x = -2 .$

B = \{-2, 2\}

Određujemo elemente skupa $C .$ To su prirodni brojevi koji su istovremeno manji od 4 i manji od 6, što znači da moraju biti manji od 4. Prirodni brojevi manji od 4 su 1, 2 i 3.

C = \{1, 2, 3\}

Određujemo elemente skupa $D .$ Rešavamo jednačinu $x^2 - 1 = 0$ u skupu celih brojeva.

x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1

Zapisujemo elemente skupa $D .$

D = \{-1, 1\}

Sada računamo razliku skupova $A \setminus C .$ To su elementi koji pripadaju skupu $A ,$ ali ne pripadaju skupu $C .$

A \setminus C = \{3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}

Računamo presek skupova $D \cap B .$ To su elementi koji se nalaze i u skupu $D$ i u skupu $B .$

D \cap B = \{-1, 1\} \cap \{-2, 2\} = \emptyset

Konačno, računamo presek dobijenih skupova $(A \setminus C) \cap (D \cap B) .$

(A \setminus C) \cap (D \cap B) = \{4\} \cap \emptyset = \emptyset

36.b