3115.

36.a

TEKST ZADATKA

Zadati su skupovi A={x∈N∣x>2∧x<5}, A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 2 \land x < 5\} , B={x∈Z∣∣x∣=2}, B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 2\} , C={x∈N∣x<4∧x<6} C = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 4 \land x < 6\} i D={x∈Z∣x2−1=0}. D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 1 = 0\} . Odrediti skupove: a) (A∩C)∪(B∩D) (A \cap C) \cup (B \cap D)

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente skupa A. A . To su prirodni brojevi veći od 2 i manji od 5.

A={3,4}A = \{3, 4\}

Određujemo elemente skupa B. B . To su celi brojevi za koje važi ∣x∣=2. |x| = 2 .

Definišemo apsolutnu vrednost za izraz ∣x∣: |x| :

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Rešavamo jednačinu ∣x∣=2 |x| = 2 na osnovu definicije apsolutne vrednosti:

x=2∨x=−2  ⟹  B={−2,2}x = 2 \lor x = -2 \implies B = \{-2, 2\}

Određujemo elemente skupa C. C . Uslov x<4∧x<6 x < 4 \land x < 6 se svodi na x<4. x < 4 . Prirodni brojevi manji od 4 su 1, 2 i 3.

C={1,2,3}C = \{1, 2, 3\}

Određujemo elemente skupa D. D . To su celi brojevi koji su rešenja jednačine x2−1=0. x^2 - 1 = 0 .

x2=1  ⟹  x=1∨x=−1  ⟹  D={−1,1}x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1 \implies D = \{-1, 1\}

Računamo presek skupova A A i C. C . Presek čine elementi koji se nalaze u oba skupa.

A∩C={3,4}∩{1,2,3}={3}A \cap C = \{3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{3\}

Računamo presek skupova B B i D. D . Ovi skupovi nemaju zajedničkih elemenata.

B∩D={−2,2}∩{−1,1}=∅B \cap D = \{-2, 2\} \cap \{-1, 1\} = \emptyset

Konačno, računamo uniju dobijenih preseka:

(A∩C)∪(B∩D)={3}∪∅={3}(A \cap C) \cup (B \cap D) = \{3\} \cup \emptyset = \{3\}