1777.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem kvadratnih jednačina u skupu realnih brojeva:

{x2+y2=p2+q2x+y=p+q\begin{cases} x^2 + y^2 = p^2 + q^2 \\ x + y = p + q \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Iz druge jednačine izražavamo jednu promenljivu preko druge. Na primer, izražavamo y: y :

y=p+q−xy = p + q - x

Zamenjujemo izraz za y y u prvu jednačinu sistema:

x2+(p+q−x)2=p2+q2x^2 + (p + q - x)^2 = p^2 + q^2

Kvadriramo trinom (p+q−x)2 (p + q - x)^2 koristeći formulu (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc: (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc :

x2+(p2+q2+x2+2pq−2px−2qx)=p2+q2x^2 + (p^2 + q^2 + x^2 + 2pq - 2px - 2qx) = p^2 + q^2

Sređujemo jednačinu poništavanjem istih članova sa obe strane i grupisanjem:

2x2−2(p+q)x+2pq=02x^2 - 2(p + q)x + 2pq = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 kako bismo je uprostili:

x2−(p+q)x+pq=0x^2 - (p + q)x + pq = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po x x koristeći kvadratnu formulu:

x1,2=(p+q)±(p+q)2−4pq2x_{1,2} = \frac{(p + q) \pm \sqrt{(p + q)^2 - 4pq}}{2}

Sređujemo izraz pod korenom koristeći identitet (p+q)2−4pq=(p−q)2: (p + q)^2 - 4pq = (p - q)^2 :

x1,2=(p+q)±(p−q)22=(p+q)±(p−q)2x_{1,2} = \frac{(p + q) \pm \sqrt{(p - q)^2}}{2} = \frac{(p + q) \pm (p - q)}{2}

Računamo vrednosti za x1 x_1 i x2: x_2 :

x1=p+q+p−q2=2p2=px2=p+q−(p−q)2=2q2=qx_1 = \frac{p + q + p - q}{2} = \frac{2p}{2} = p \\ x_2 = \frac{p + q - (p - q)}{2} = \frac{2q}{2} = q

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za y y koristeći vezu y=p+q−x: y = p + q - x :

Za x1=p  ⟹  y1=p+q−p=qZa x2=q  ⟹  y2=p+q−q=p\text{Za } x_1 = p \implies y_1 = p + q - p = q \\ \text{Za } x_2 = q \implies y_2 = p + q - q = p

Zapisujemo konačna rešenja sistema kao uređene parove:

(x,y)∈{(p,q),(q,p)}(x, y) \in \{(p, q), (q, p)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti