Sistem sa parametrima p i q: rešenja su p i q

Iz druge jednačine izražavamo jednu promenljivu preko druge. Na primer, izražavamo $y :$

y = p + q - x

Zamenjujemo izraz za $y$ u prvu jednačinu sistema:

x^2 + (p + q - x)^2 = p^2 + q^2

Kvadriramo trinom $(p + q - x)^2$ koristeći formulu $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc :$

x^2 + (p^2 + q^2 + x^2 + 2pq - 2px - 2qx) = p^2 + q^2

Sređujemo jednačinu poništavanjem istih članova sa obe strane i grupisanjem:

2x^2 - 2(p + q)x + 2pq = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 kako bismo je uprostili:

x^2 - (p + q)x + pq = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $x$ koristeći kvadratnu formulu:

x_{1,2} = \frac{(p + q) \pm \sqrt{(p + q)^2 - 4pq}}{2}

Sređujemo izraz pod korenom koristeći identitet $(p + q)^2 - 4pq = (p - q)^2 :$

x_{1,2} = \frac{(p + q) \pm \sqrt{(p - q)^2}}{2} = \frac{(p + q) \pm (p - q)}{2}

Računamo vrednosti za $x_1$ i $x_2 :$

x_1 = \frac{p + q + p - q}{2} = \frac{2p}{2} = p \\ x_2 = \frac{p + q - (p - q)}{2} = \frac{2q}{2} = q

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći vezu $y = p + q - x :$

\text{Za } x_1 = p \implies y_1 = p + q - p = q \\ \text{Za } x_2 = q \implies y_2 = p + q - q = p

Zapisujemo konačna rešenja sistema kao uređene parove:

(x, y) \in \{(p, q), (q, p)\}

328.v