2967. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Da bismo rešili trougao, potrebno je da odredimo sve njegove nepoznate uglove. Pošto su nam poznate sve tri stranice, koristićemo kosinusnu teoremu.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Izražavamo kosinus ugla $\alpha$ iz formule:

\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Zamenjujemo poznate vrednosti stranica:

\cos \alpha = \frac{18^2 + 9^2 - 10^2}{2 \cdot 18 \cdot 9} = \frac{324 + 81 - 100}{324} = \frac{305}{324}

Računamo vrednost ugla $\alpha :$

\alpha = \arccos\left(\frac{305}{324}\right) \approx 19^\circ 43'

Slično, primenjujemo kosinusnu teoremu za ugao $\beta :$

\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}

Zamenjujemo vrednosti i računamo kosinus ugla $\beta :$

\cos \beta = \frac{10^2 + 9^2 - 18^2}{2 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{100 + 81 - 324}{180} = -\frac{143}{180}

Računamo vrednost ugla $\beta :$

\beta = \arccos\left(-\frac{143}{180}\right) \approx 142^\circ 36'

Treći ugao $\gamma$ možemo naći koristeći osobinu da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu $180^\circ :$

\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)

Zamenjujemo izračunate vrednosti za $\alpha$ i $\beta :$

\gamma \approx 180^\circ - (19^\circ 43' + 142^\circ 36') = 180^\circ - 162^\circ 19' = 17^\circ 41'

997.a