2962. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Poznate su sve tri stranice trougla. Da bismo našli uglove, koristićemo kosinusnu teoremu.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu kako bismo našli ugao $\alpha .$

2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \alpha

Rešavamo jednačinu po $\cos \alpha .$

4 = 9 + 16 - 24 \cos \alpha \implies 24 \cos \alpha = 21 \implies \cos \alpha = \frac{7}{8}

Nalazimo približnu vrednost ugla $\alpha .$

\alpha = \arccos\left(\frac{7}{8}\right) \approx 28^\circ 57'

Sada primenjujemo kosinusnu teoremu za stranicu $b$ kako bismo našli ugao $\beta .$

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta

Zamenjujemo vrednosti i rešavamo po $\cos \beta .$

3^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \beta \implies 9 = 4 + 16 - 16 \cos \beta

Računamo $\cos \beta$ i nalazimo približnu vrednost ugla $\beta .$

16 \cos \beta = 11 \implies \cos \beta = \frac{11}{16} \implies \beta = \arccos\left(\frac{11}{16}\right) \approx 46^\circ 34'

Treći ugao $\gamma$ možemo naći koristeći osobinu da je zbir uglova u trouglu $180^\circ .$

\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)

Zamenjujemo dobijene vrednosti za $\alpha$ i $\beta .$

\gamma = 180^\circ - (28^\circ 57' + 46^\circ 34') = 180^\circ - 75^\circ 31'

Računamo konačnu vrednost za ugao $\gamma .$

\gamma = 104^\circ 29'

Alternativno, ugao $\gamma$ smo mogli dobiti i primenom kosinusne teoreme za stranicu $c .$

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \implies 16 = 4 + 9 - 12 \cos \gamma \implies \cos \gamma = -\frac{1}{4} \implies \gamma \approx 104^\circ 29'

2962.Sinusna i kosinusna teorema i primena