Relacija: 3 deli x + 2y u skupu prirodnih brojeva

Da bi relacija bila relacija ekvivalencije, mora biti refleksivna, simetrična i tranzitivna. Ispitaćemo svako od ovih svojstava.

Proveravamo refleksivnost. Za svako $x \in \mathbb{N}$ mora važiti $x \rho x ,$ odnosno $3 \mid x + 2x .$

x + 2x = 3x

Kako je $3x$ očigledno deljivo sa 3 za svaki prirodan broj $x ,$ zaključujemo da je relacija refleksivna.

3 \mid 3x \implies x \rho x

Proveravamo simetričnost. Pretpostavimo da važi $x \rho y ,$ što znači da $3 \mid x + 2y .$ Treba dokazati da važi $y \rho x ,$ odnosno $3 \mid y + 2x .$

x + 2y = 3k, \quad k \in \mathbb{Z}

Posmatrajmo zbir izraza $x + 2y$ i $y + 2x :$

(x + 2y) + (y + 2x) = 3x + 3y = 3(x + y)

Izrazimo $y + 2x$ preko poznatih vrednosti:

y + 2x = 3(x + y) - (x + 2y) = 3(x + y) - 3k = 3(x + y - k)

Pošto je $x + y - k$ ceo broj, sledi da je $y + 2x$ deljivo sa 3, pa je relacija simetrična.

3 \mid y + 2x \implies y \rho x

Proveravamo tranzitivnost. Pretpostavimo da važi $x \rho y$ i $y \rho z .$ To znači da $3 \mid x + 2y$ i $3 \mid y + 2z .$ Treba dokazati da $3 \mid x + 2z .$

x + 2y = 3k_1 \quad \text{i} \quad y + 2z = 3k_2

Sabiranjem ove dve jednakosti dobijamo:

(x + 2y) + (y + 2z) = 3k_1 + 3k_2

Sređivanjem leve strane izdvajamo izraz $x + 2z :$

x + 3y + 2z = 3(k_1 + k_2) \implies x + 2z = 3(k_1 + k_2 - y)

Pošto je $k_1 + k_2 - y$ ceo broj, sledi da je $x + 2z$ deljivo sa 3, pa je relacija tranzitivna.

3 \mid x + 2z \implies x \rho z

Pošto je relacija $\rho$ refleksivna, simetrična i tranzitivna, ona je relacija ekvivalencije.

Sada određujemo klase ekvivalencije. Primetimo da se uslov $3 \mid x + 2y$ može zapisati drugačije. Kako je $2y = 3y - y ,$ imamo:

x + 2y = x + 3y - y = (x - y) + 3y

Pošto je $3y$ uvek deljivo sa 3, uslov $3 \mid x + 2y$ je ekvivalentan sa $3 \mid x - y ,$ što znači da $x$ i $y$ daju isti ostatak pri deljenju sa 3.

x \equiv y \pmod{3}

Dakle, skup prirodnih brojeva se razbija na tri klase ekvivalencije, u zavisnosti od ostatka pri deljenju sa 3 (ostatak 1, 2 ili 0):

\begin{aligned} C_1 &= \{3k - 2 \mid k \in \mathbb{N}\} = \{1, 4, 7, 10, \dots\} \\ C_2 &= \{3k - 1 \mid k \in \mathbb{N}\} = \{2, 5, 8, 11, \dots\} \\ C_3 &= \{3k \mid k \in \mathbb{N}\} = \{3, 6, 9, 12, \dots\} \end{aligned}

Započni učenje

Online časovi

78

Beleške