Relacija: koren proizvoda je ceo broj, klase

Zapišimo elemente skupa $M$ kao stepene broja 2:

M = \{2^0, 2^1, 2^2, 2^3\}

Neka su $a = 2^x$ i $b = 2^y ,$ gde $x, y \in \{0, 1, 2, 3\} .$ Uslov $\sqrt{ab} \in \mathbb{Z}$ možemo zapisati preko eksponenata:

\sqrt{ab} = \sqrt{2^x \cdot 2^y} = \sqrt{2^{x+y}} = 2^{\frac{x+y}{2}}

Da bi rezultat bio ceo broj, eksponent mora biti nenegativan ceo broj, što znači da zbir $x+y$ mora biti paran. Zbir dva broja je paran ako i samo ako su oba parna ili oba neparna (imaju istu parnost).

x \equiv y \pmod{2}

Elementi sa parnim eksponentima su $2^0 = 1$ i $2^2 = 4 .$ Elementi sa neparnim eksponentima su $2^1 = 2$ i $2^3 = 8 .$ Odredimo sve parove relacije $\rho :$

\rho = \{(1,1), (1,4), (4,1), (4,4), (2,2), (2,8), (8,2), (8,8)\}

Tablica relacije $\rho$ (gde 1 označava da su elementi u relaciji, a 0 da nisu):

\begin{array}{c|cccc} \rho & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}

Graf relacije $\rho$ se sastoji od 4 čvora $\{1, 2, 4, 8\} .$ Postoje petlje u svakom čvoru (zbog refleksivnosti), kao i dvosmerne grane između čvorova 1 i 4, odnosno 2 i 8.

Dokazujemo da je relacija ekvivalencije. Prvo, refleksivnost: Za svako $a \in M$ važi $a \rho a$ jer je kvadratni koren kvadrata celog broja takođe ceo broj.

\sqrt{a \cdot a} = \sqrt{a^2} = a \in \mathbb{Z}

Simetričnost: Za svako $a, b \in M ,$ ako važi $a \rho b ,$ to znači da je $\sqrt{ab} \in \mathbb{Z} .$ Kako je množenje komutativno, važi i $b \rho a .$

\sqrt{ba} = \sqrt{ab} \in \mathbb{Z}

Tranzitivnost: Neka je $a \rho b$ i $b \rho c .$ Prema pravilu parnosti eksponenata, $a$ i $b$ imaju istu parnost eksponenta, kao i $b$ i $c .$ Sledi da $a$ i $c$ imaju istu parnost eksponenta, pa važi $a \rho c .$

\sqrt{ac} \in \mathbb{Z}

Pošto je relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna, ona je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije su podskupovi međusobno ekvivalentnih elemenata:

C_1 = \{1, 4\}, \quad C_2 = \{2, 8\}

Započni učenje

Online časovi

81

Beleške