Relacija x = y ili x = (y − 1) na kvadrat

Prvo ćemo odrediti sve uređene parove $(x, y)$ koji pripadaju relaciji $\rho .$ Uslov je $x = y$ ili $x = (y - 1)^2$ za elemente iz skupa $A .$

A = \{0, 1, 2, 3\}

Iz uslova $x = y$ dobijamo parove gde su prva i druga koordinata jednake:

\rho_1 = \{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)\}

Iz uslova $x = (y - 1)^2$ računamo vrednosti $x$ za svako $y \in A :$

\begin{aligned} y = 0 &\Rightarrow x = (0 - 1)^2 = 1 \Rightarrow (1,0) \\ y = 1 &\Rightarrow x = (1 - 1)^2 = 0 \Rightarrow (0,1) \\ y = 2 &\Rightarrow x = (2 - 1)^2 = 1 \Rightarrow (1,2) \\ y = 3 &\Rightarrow x = (3 - 1)^2 = 4 \notin A \end{aligned}

Unijom ova dva skupa parova dobijamo konačan skup elemenata relacije $\rho :$

\rho = \{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (1,0), (0,1), (1,2)\}

Pravimo tablicu relacije $\rho .$ U redovima su vrednosti $x ,$ a u kolonama vrednosti $y .$ Upisujemo 1 ako su u relaciji, a 0 ako nisu.

0

1

2

3

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

2

0

0

1

0

3

0

0

0

1

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $(x,x) \in \rho .$

(0,0), (1,1), (2,2), (3,3) \in \rho \Rightarrow \text{Relacija jeste refleksivna.}

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako iz $(x,y) \in \rho$ sledi $(y,x) \in \rho .$

(1,2) \in \rho, \text{ ali } (2,1) \notin \rho \Rightarrow \text{Relacija nije simetrična.}

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako iz $(x,y) \in \rho$ i $(y,x) \in \rho$ sledi $x = y .$

(1,0) \in \rho \text{ i } (0,1) \in \rho, \text{ ali } 1 \neq 0 \Rightarrow \text{Relacija nije antisimetrična.}

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz $(x,y) \in \rho$ i $(y,z) \in \rho$ sledi $(x,z) \in \rho .$

(0,1) \in \rho \text{ i } (1,2) \in \rho, \text{ ali } (0,2) \notin \rho \Rightarrow \text{Relacija nije tranzitivna.}

Graf relacije se crta tako što se postave čvorovi za svaki element skupa $A$ (0, 1, 2, 3) i povuku usmerene grane (strelice) od čvora $x$ ka čvoru $y$ za svaki par $(x,y) \in \rho .$ Na osnovu skupa parova, postoje petlje u svakom čvoru (zbog refleksivnosti), dvosmerna grana između 0 i 1, i jednosmerna grana od 1 ka 2.

Započni učenje

Online časovi

75.b

Beleške