3198.

72.a

TEKST ZADATKA

Ispitati koja od svojstava refleksivnosti, simetričnosti, antisimetričnosti i tranzitivnosti imaju relacije: a) xρy⇔x2−xy+y2=1 x \rho y \Leftrightarrow x^2 - xy + y^2 = 1 ; u skupu realnih brojeva.

REŠENJE ZADATKA

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈R x \in \mathbb{R} važi xρx. x \rho x .

xρx⇔x2−x⋅x+x2=1⇔x2=1x \rho x \Leftrightarrow x^2 - x \cdot x + x^2 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 1

Ovo očigledno ne važi za svaki realan broj (na primer, za x=0 x = 0 dobijamo 0=1, 0 = 1 , što je netačno). Zaključujemo da relacija nije refleksivna.

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako x,y∈R x, y \in \mathbb{R} iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x .

xρy⇔x2−xy+y2=1⇔y2−yx+x2=1⇔yρxx \rho y \Leftrightarrow x^2 - xy + y^2 = 1 \Leftrightarrow y^2 - yx + x^2 = 1 \Leftrightarrow y \rho x

Pošto je jednakost očuvana kada zamenimo mesta promenljivama x x i y, y , relacija jeste simetrična.

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako x,y∈R x, y \in \mathbb{R} iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y .

Pronađimo kontraprimer. Neka je x=1 x = 1 i y=0. y = 0 .

12−1⋅0+02=1⇒1ρ01^2 - 1 \cdot 0 + 0^2 = 1 \Rightarrow 1 \rho 0

Takođe važi i obrnuto, jer je relacija simetrična:

02−0⋅1+12=1⇒0ρ10^2 - 0 \cdot 1 + 1^2 = 1 \Rightarrow 0 \rho 1

Imamo da važi 1ρ0 1 \rho 0 i 0ρ1, 0 \rho 1 , ali 1≠0. 1 \neq 0 . Dakle, relacija nije antisimetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako x,y,z∈R x, y, z \in \mathbb{R} iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z .

Pronađimo kontraprimer. Neka je x=1, x = 1 , y=0 y = 0 i z=−1. z = -1 .

1ρ0⇔12−1⋅0+02=10ρ−1⇔02−0⋅(−1)+(−1)2=1\begin{aligned} 1 \rho 0 &\Leftrightarrow 1^2 - 1 \cdot 0 + 0^2 = 1 \\ 0 \rho -1 &\Leftrightarrow 0^2 - 0 \cdot (-1) + (-1)^2 = 1 \end{aligned}

Proveravamo da li važi 1ρ−1: 1 \rho -1 :

12−1⋅(−1)+(−1)2=1+1+1=3≠11^2 - 1 \cdot (-1) + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 1

Pošto 1ρ−1 1 \rho -1 ne važi, relacija nije tranzitivna.

Zaključak: Data relacija je samo simetrična.