Relacija x na 2 − xy + y na 2 = 1 u skupu realnih

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in \mathbb{R}$ važi $x \rho x .$

x \rho x \Leftrightarrow x^2 - x \cdot x + x^2 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 1

Ovo očigledno ne važi za svaki realan broj (na primer, za $x = 0$ dobijamo $0 = 1 ,$ što je netačno). Zaključujemo da relacija nije refleksivna.

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako $x, y \in \mathbb{R}$ iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$

x \rho y \Leftrightarrow x^2 - xy + y^2 = 1 \Leftrightarrow y^2 - yx + x^2 = 1 \Leftrightarrow y \rho x

Pošto je jednakost očuvana kada zamenimo mesta promenljivama $x$ i $y ,$ relacija jeste simetrična.

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako $x, y \in \mathbb{R}$ iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$

Pronađimo kontraprimer. Neka je $x = 1$ i $y = 0 .$

1^2 - 1 \cdot 0 + 0^2 = 1 \Rightarrow 1 \rho 0

Takođe važi i obrnuto, jer je relacija simetrična:

0^2 - 0 \cdot 1 + 1^2 = 1 \Rightarrow 0 \rho 1

Imamo da važi $1 \rho 0$ i $0 \rho 1 ,$ ali $1 \neq 0 .$ Dakle, relacija nije antisimetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako $x, y, z \in \mathbb{R}$ iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$

Pronađimo kontraprimer. Neka je $x = 1 ,$ $y = 0$ i $z = -1 .$

\begin{aligned} 1 \rho 0 &\Leftrightarrow 1^2 - 1 \cdot 0 + 0^2 = 1 \\ 0 \rho -1 &\Leftrightarrow 0^2 - 0 \cdot (-1) + (-1)^2 = 1 \end{aligned}

Proveravamo da li važi $1 \rho -1 :$

1^2 - 1 \cdot (-1) + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 1

Pošto $1 \rho -1$ ne važi, relacija nije tranzitivna.

Zaključak: Data relacija je samo simetrična.

72.a