Relacija: zbir x i y deljiv sa 3 na skupu od 1 do 5

Da bismo ispitali osobine relacije, prvo ćemo odrediti sve uređene parove $(x, y)$ koji pripadaju relaciji $\rho .$ Uslov je da zbir $x + y$ bude deljiv sa 3, pri čemu $x, y \in A .$

Proveravamo sve moguće kombinacije elemenata iz skupa $A$ i izdvajamo one čiji je zbir deljiv sa 3:

\rho = \{(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4)\}

**Refleksivnost:** Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $x \rho x .$ U našem slučaju, za $x = 1 ,$ zbir $1 + 1 = 2$ nije deljiv sa 3, pa $(1, 1) \notin \rho .$

\text{Relacija nije refleksivna.}

**Simetričnost:** Relacija je simetrična ako iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$ Ako $3 \mid (x + y) ,$ onda zbog komutativnosti sabiranja važi i $3 \mid (y + x) .$

\text{Relacija jeste simetrična.}

**Antisimetričnost:** Relacija je antisimetrična ako iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$ Imamo da $(1, 2) \in \rho$ i $(2, 1) \in \rho ,$ ali $1 \neq 2 .$

\text{Relacija nije antisimetrična.}

**Tranzitivnost:** Relacija je tranzitivna ako iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$ Imamo da $(1, 2) \in \rho$ i $(2, 4) \in \rho ,$ ali $(1, 4) \notin \rho$ jer $1 + 4 = 5$ nije deljivo sa 3.

\text{Relacija nije tranzitivna.}

Graf relacije se crta tako što se postave čvorovi za svaki element skupa $A$ i povuku usmerene grane od $x$ do $y$ za svaki par $(x, y) \in \rho .$ Zbog simetričnosti, sve grane između različitih čvorova su dvosmerne, a postoji samo jedna petlja (na čvoru 3).

Tablica relacije $\rho$ (gde $\top$ označava da su elementi u relaciji, a $\bot$ da nisu) izgleda ovako:

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline\rho & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline1 & \bot & \top & \bot & \bot & \top \\2 & \top & \bot & \bot & \top & \bot \\3 & \bot & \bot & \top & \bot & \bot \\4 & \bot & \top & \bot & \bot & \top \\5 & \top & \bot & \bot & \top & \bot \\\hline\end{array}

Započni učenje

Online časovi

75.d

Beleške