3197. Relacije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Na skupu $A = \{0, 1, 2, 3\}$ definisana je relacija $\rho :$ v) $x \rho y \Leftrightarrow x + y \le 2$ ; Napraviti tablicu za relaciju $\rho$ i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija $\rho .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti sve uređene parove $(x, y)$ koji pripadaju relaciji $\rho .$ Za svaki element $x \in A$ tražimo elemente $y \in A$ takve da važi uslov $x + y \le 2 .$

\rho = \{(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0)\}

Prikazujemo relaciju $\rho$ pomoću tablice. U redovima su vrednosti za prvu koordinatu $x ,$ a u kolonama za drugu koordinatu $y .$ Brojem 1 označavamo da su elementi u relaciji, a brojem 0 da nisu.

\begin{array}{c|cccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}

Ispitujemo **refleksivnost**. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $x \rho x .$ U našem slučaju, za $x = 2$ imamo $2 + 2 = 4 \not\le 2 ,$ pa $(2,2) \notin \rho .$

\text{Relacija } \rho \text{ nije refleksivna.}

Ispitujemo **simetričnost**. Relacija je simetrična ako iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$ Kako je sabiranje komutativno, ako važi $x + y \le 2 ,$ onda sigurno važi i $y + x \le 2$ za sve $x, y \in A .$

\text{Relacija } \rho \text{ jeste simetrična.}

Ispitujemo **antisimetričnost**. Relacija je antisimetrična ako iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$ Primetimo da važi $0 \rho 1$ (jer je $0+1 \le 2$ ) i $1 \rho 0$ (jer je $1+0 \le 2$ ), ali $0 \neq 1 .$

\text{Relacija } \rho \text{ nije antisimetrična.}

Ispitujemo **tranzitivnost**. Relacija je tranzitivna ako iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$ Primetimo da važi $2 \rho 0$ i $0 \rho 2 .$ Ako bi relacija bila tranzitivna, moralo bi da važi i $2 \rho 2 .$ Međutim, $2 + 2 = 4 \not\le 2 ,$ pa $(2,2) \notin \rho .$

\text{Relacija } \rho \text{ nije tranzitivna.}

73.v