3197.

73.v

TEKST ZADATKA

Na skupu A={0,1,2,3} A = \{0, 1, 2, 3\} definisana je relacija ρ: \rho : v) xρy⇔x+y≤2 x \rho y \Leftrightarrow x + y \le 2 ; Napraviti tablicu za relaciju ρ \rho i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija ρ. \rho .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti sve uređene parove (x,y) (x, y) koji pripadaju relaciji ρ. \rho . Za svaki element x∈A x \in A tražimo elemente y∈A y \in A takve da važi uslov x+y≤2. x + y \le 2 .

ρ={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}\rho = \{(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0)\}

Prikazujemo relaciju ρ \rho pomoću tablice. U redovima su vrednosti za prvu koordinatu x, x , a u kolonama za drugu koordinatu y. y . Brojem 1 označavamo da su elementi u relaciji, a brojem 0 da nisu.

ρ012301110111002100030000\begin{array}{c|cccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}

Ispitujemo **refleksivnost**. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A x \in A važi xρx. x \rho x . U našem slučaju, za x=2 x = 2 imamo 2+2=4≰2, 2 + 2 = 4 \not\le 2 , pa (2,2)∉ρ. (2,2) \notin \rho .

Relacija ρ nije refleksivna.\text{Relacija } \rho \text{ nije refleksivna.}

Ispitujemo **simetričnost**. Relacija je simetrična ako iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x . Kako je sabiranje komutativno, ako važi x+y≤2, x + y \le 2 , onda sigurno važi i y+x≤2 y + x \le 2 za sve x,y∈A. x, y \in A .

Relacija ρ jeste simetricˇna.\text{Relacija } \rho \text{ jeste simetrična.}

Ispitujemo **antisimetričnost**. Relacija je antisimetrična ako iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y . Primetimo da važi 0ρ1 0 \rho 1 (jer je 0+1≤2 0+1 \le 2 ) i 1ρ0 1 \rho 0 (jer je 1+0≤2 1+0 \le 2 ), ali 0≠1. 0 \neq 1 .

Relacija ρ nije antisimetricˇna.\text{Relacija } \rho \text{ nije antisimetrična.}

Ispitujemo **tranzitivnost**. Relacija je tranzitivna ako iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z . Primetimo da važi 2ρ0 2 \rho 0 i 0ρ2. 0 \rho 2 . Ako bi relacija bila tranzitivna, moralo bi da važi i 2ρ2. 2 \rho 2 . Međutim, 2+2=4≰2, 2 + 2 = 4 \not\le 2 , pa (2,2)∉ρ. (2,2) \notin \rho .

Relacija ρ nije tranzitivna.\text{Relacija } \rho \text{ nije tranzitivna.}