3196.

72.b

TEKST ZADATKA

Ispitati koja od svojstava refleksivnosti, simetričnosti, antisimetričnosti i tranzitivnosti imaju relacije: b) xρy⇔x2≤y2 x \rho y \Leftrightarrow x^2 \le y^2 u skupu realnih brojeva.

REŠENJE ZADATKA

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈R x \in \mathbb{R} važi xρx. x \rho x .

x2≤x2x^2 \le x^2

Kako je kvadrat svakog realnog broja uvek jednak samom sebi, nejednakost je tačna. Dakle, relacija jeste refleksivna.

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako x,y∈R x, y \in \mathbb{R} iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x .

x2≤y2  ⟹  y2≤x2x^2 \le y^2 \implies y^2 \le x^2

Ova implikacija ne važi uvek. Na primer, za x=1 x = 1 i y=2 y = 2 imamo 12≤22 1^2 \le 2^2 (odnosno 1≤4 1 \le 4 ), što je tačno, ali obrnuto 22≤12 2^2 \le 1^2 (odnosno 4≤1 4 \le 1 ) nije tačno. Dakle, relacija nije simetrična.

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako x,y∈R x, y \in \mathbb{R} iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y .

(x2≤y2∧y2≤x2)  ⟹  x=y(x^2 \le y^2 \land y^2 \le x^2) \implies x = y

Iz x2≤y2 x^2 \le y^2 i y2≤x2 y^2 \le x^2 sledi da je x2=y2, x^2 = y^2 , što znači da je x=y x = y ili x=−y. x = -y . Na primer, za x=1 x = 1 i y=−1 y = -1 važi 1ρ−1 1 \rho -1 i −1ρ1, -1 \rho 1 , ali 1≠−1. 1 \neq -1 . Dakle, relacija nije antisimetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako x,y,z∈R x, y, z \in \mathbb{R} iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z .

(x2≤y2∧y2≤z2)  ⟹  x2≤z2(x^2 \le y^2 \land y^2 \le z^2) \implies x^2 \le z^2

Zbog svojstva tranzitivnosti relacije poretka ≤ \le u skupu realnih brojeva, ova implikacija je uvek tačna. Dakle, relacija jeste tranzitivna.

Zaključujemo da data relacija ima svojstva refleksivnosti i tranzitivnosti, dok simetričnost i antisimetričnost nema.