Relacija kvadrat x manji ili jednak kvadratu y

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in \mathbb{R}$ važi $x \rho x .$

x^2 \le x^2

Kako je kvadrat svakog realnog broja uvek jednak samom sebi, nejednakost je tačna. Dakle, relacija jeste refleksivna.

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako $x, y \in \mathbb{R}$ iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$

x^2 \le y^2 \implies y^2 \le x^2

Ova implikacija ne važi uvek. Na primer, za $x = 1$ i $y = 2$ imamo $1^2 \le 2^2$ (odnosno $1 \le 4$ ), što je tačno, ali obrnuto $2^2 \le 1^2$ (odnosno $4 \le 1$ ) nije tačno. Dakle, relacija nije simetrična.

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako $x, y \in \mathbb{R}$ iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$

(x^2 \le y^2 \land y^2 \le x^2) \implies x = y

Iz $x^2 \le y^2$ i $y^2 \le x^2$ sledi da je $x^2 = y^2 ,$ što znači da je $x = y$ ili $x = -y .$ Na primer, za $x = 1$ i $y = -1$ važi $1 \rho -1$ i $-1 \rho 1 ,$ ali $1 \neq -1 .$ Dakle, relacija nije antisimetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako $x, y, z \in \mathbb{R}$ iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$

(x^2 \le y^2 \land y^2 \le z^2) \implies x^2 \le z^2

Zbog svojstva tranzitivnosti relacije poretka $\le$ u skupu realnih brojeva, ova implikacija je uvek tačna. Dakle, relacija jeste tranzitivna.

Zaključujemo da data relacija ima svojstva refleksivnosti i tranzitivnosti, dok simetričnost i antisimetričnost nema.

Započni učenje

Online časovi

72.b

Beleške