3195.

74.a

TEKST ZADATKA

Na skupu A={1,2,3,4} A = \{1, 2, 3, 4\} definisana je relacija: a) xρy⇔x>y+1 x \rho y \Leftrightarrow x > y + 1 ; Napraviti tablicu za relaciju ρ \rho i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija ρ. \rho .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente relacije ρ \rho proverom uslova x>y+1 x > y + 1 za sve parove (x,y)∈A×A. (x, y) \in A \times A .

ρ={(3,1),(4,1),(4,2)}\rho = \{(3, 1), (4, 1), (4, 2)\}

Pravimo tablicu za relaciju ρ, \rho , gde upisujemo 1 1 ako su elementi u relaciji, a 0 0 ako nisu.

ρ123410000200003100041100\begin{array}{c|cccc} \rho & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A x \in A važi xρx. x \rho x . U našem slučaju, na primer, 1≯1+1, 1 \not> 1 + 1 , pa (1,1)∉ρ. (1, 1) \notin \rho .

Relacija nije refleksivna.\text{Relacija nije refleksivna.}

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x . Vidimo da (3,1)∈ρ, (3, 1) \in \rho , ali (1,3)∉ρ (1, 3) \notin \rho jer 1≯3+1. 1 \not> 3 + 1 .

Relacija nije simetricˇna.\text{Relacija nije simetrična.}

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y . Kako ne postoje dva elementa za koje istovremeno važi xρy x \rho y i yρx, y \rho x , uslov antisimetričnosti je trivijalno ispunjen.

Relacija jeste antisimetricˇna.\text{Relacija jeste antisimetrična.}

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z . U ovoj relaciji ne postoje elementi x,y,z x, y, z takvi da istovremeno važi xρy x \rho y i yρz, y \rho z , pa je uslov tranzitivnosti trivijalno ispunjen.

Relacija jeste tranzitivna.\text{Relacija jeste tranzitivna.}