3194. Relacije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Na skupu $A = \{0, 1, 2, 3\}$ definisana je relacija $\rho :$ a) $x \rho y \Leftrightarrow x + y < 2$ ; Napraviti tablicu za relaciju $\rho$ i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija $\rho .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti sve uređene parove $(x, y)$ iz $A \times A$ koji zadovoljavaju uslov $x + y < 2 .$

\rho = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}

Pravimo tablicu za relaciju $\rho .$ U polje preseka reda $x$ i kolone $y$ upisujemo 1 ako su elementi u relaciji, a 0 ako nisu.

\rho

0

1

2

3

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $x \rho x .$

1 \rho 1 \iff 1 + 1 < 2 \iff 2 < 2 \text{ (netačno)}

Pošto element 1 nije u relaciji sa samim sobom (kao ni 2, ni 3), relacija nije refleksivna.

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako $x, y \in A$ iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$

x + y < 2 \implies y + x < 2

Zbir je komutativan, pa uslov važi. Svi parovi u relaciji imaju svoje simetrične parove: $(0, 1) \in \rho$ i $(1, 0) \in \rho .$ Relacija jeste simetrična.

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$

(0 \rho 1 \land 1 \rho 0) \implies 0 = 1 \text{ (netačno)}

Pošto imamo $(0, 1) \in \rho$ i $(1, 0) \in \rho ,$ a $0 \neq 1 ,$ relacija nije antisimetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$

(1 \rho 0 \land 0 \rho 1) \implies 1 \rho 1 \text{ (netačno)}

Znamo da $1 \rho 1$ nije tačno (jer $1 + 1 = 2 \not< 2$ ). Zato relacija nije tranzitivna.

73.a