3194.

73.a

TEKST ZADATKA

Na skupu A={0,1,2,3} A = \{0, 1, 2, 3\} definisana je relacija ρ: \rho : a) xρy⇔x+y<2 x \rho y \Leftrightarrow x + y < 2 ; Napraviti tablicu za relaciju ρ \rho i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija ρ. \rho .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti sve uređene parove (x,y) (x, y) iz A×A A \times A koji zadovoljavaju uslov x+y<2. x + y < 2 .

ρ={(0,0),(0,1),(1,0)}\rho = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}

Pravimo tablicu za relaciju ρ. \rho . U polje preseka reda x x i kolone y y upisujemo 1 ako su elementi u relaciji, a 0 ako nisu.

ρ\rho
00
11
22
33
00
11
11
00
00
11
11
00
00
00
22
00
00
00
00
33
00
00
00
00

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A x \in A važi xρx. x \rho x .

1ρ1  ⟺  1+1<2  ⟺  2<2 (netacˇno)1 \rho 1 \iff 1 + 1 < 2 \iff 2 < 2 \text{ (netačno)}

Pošto element 1 nije u relaciji sa samim sobom (kao ni 2, ni 3), relacija nije refleksivna.

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako x,y∈A x, y \in A iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x .

x+y<2  ⟹  y+x<2x + y < 2 \implies y + x < 2

Zbir je komutativan, pa uslov važi. Svi parovi u relaciji imaju svoje simetrične parove: (0,1)∈ρ (0, 1) \in \rho i (1,0)∈ρ. (1, 0) \in \rho . Relacija jeste simetrična.

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y .

(0ρ1∧1ρ0)  ⟹  0=1 (netacˇno)(0 \rho 1 \land 1 \rho 0) \implies 0 = 1 \text{ (netačno)}

Pošto imamo (0,1)∈ρ (0, 1) \in \rho i (1,0)∈ρ, (1, 0) \in \rho , a 0≠1, 0 \neq 1 , relacija nije antisimetrična.

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z .

(1ρ0∧0ρ1)  ⟹  1ρ1 (netacˇno)(1 \rho 0 \land 0 \rho 1) \implies 1 \rho 1 \text{ (netačno)}

Znamo da 1ρ1 1 \rho 1 nije tačno (jer 1+1=2≮2 1 + 1 = 2 \not< 2 ). Zato relacija nije tranzitivna.