TEKST ZADATKA
Na skupu A={0,1,2,3} definisana je relacija ρ:
b) xρy⇔x+y>3;
Napraviti tablicu za relaciju ρ i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija ρ.
REŠENJE ZADATKA
Prvo određujemo elemente relacije ρ proverom uslova x+y>3 za svaki par (x,y) iz skupa A×A.
ρ={(1,3),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} Pravimo tablicu za relaciju ρ. Znak ⊤ označava da su elementi u relaciji (uslov je ispunjen), a ⊥ da nisu.
ρ01230⊥⊥⊥⊥1⊥⊥⊥⊤2⊥⊥⊤⊤3⊥⊤⊤⊤ Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A važi xρx. Relacija nije refleksivna jer, na primer, za x=0 uslov nije ispunjen:
0+0=0≤3⟹(0,0)∈/ρ Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako x,y∈A važi xρy⟹yρx. Zbog komutativnosti sabiranja, ovaj uslov je uvek ispunjen, pa relacija jeste simetrična:
xρy⟹x+y>3⟹y+x>3⟹yρx Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako x,y∈A iz xρy i yρx sledi x=y. Relacija nije antisimetrična jer postoji kontraprimer:
(1,3)∈ρ∧(3,1)∈ρ,ali1=3 Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako x,y,z∈A iz xρy i yρz sledi xρz. Relacija nije tranzitivna jer postoji kontraprimer:
(1,3)∈ρ∧(3,1)∈ρ,ali(1,1)∈/ρ(1+1≤3)