3193. Relacije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Na skupu $A = \{0, 1, 2, 3\}$ definisana je relacija $\rho :$ b) $x \rho y \Leftrightarrow x + y > 3$ ; Napraviti tablicu za relaciju $\rho$ i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija $\rho .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo elemente relacije $\rho$ proverom uslova $x + y > 3$ za svaki par $(x, y)$ iz skupa $A \times A .$

\rho = \{(1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}

Pravimo tablicu za relaciju $\rho .$ Znak $\top$ označava da su elementi u relaciji (uslov je ispunjen), a $\bot$ da nisu.

\begin{array}{c|cccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & \bot & \bot & \bot & \bot \\ 1 & \bot & \bot & \bot & \top \\ 2 & \bot & \bot & \top & \top \\ 3 & \bot & \top & \top & \top \end{array}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $x \rho x .$ Relacija nije refleksivna jer, na primer, za $x = 0$ uslov nije ispunjen:

0 + 0 = 0 \le 3 \implies (0, 0) \notin \rho

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako $x, y \in A$ važi $x \rho y \implies y \rho x .$ Zbog komutativnosti sabiranja, ovaj uslov je uvek ispunjen, pa relacija jeste simetrična:

x \rho y \implies x + y > 3 \implies y + x > 3 \implies y \rho x

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako $x, y \in A$ iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$ Relacija nije antisimetrična jer postoji kontraprimer:

(1, 3) \in \rho \land (3, 1) \in \rho, \quad \text{ali} \quad 1 \neq 3

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako $x, y, z \in A$ iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$ Relacija nije tranzitivna jer postoji kontraprimer:

(1, 3) \in \rho \land (3, 1) \in \rho, \quad \text{ali} \quad (1, 1) \notin \rho \quad (1 + 1 \le 3)

73.b