3192. Relacije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Na skupu $A = \{1, 2, 3, 4\}$ definisana je relacija: b) $x \rho y \Leftrightarrow x < y - 1 .$ Napraviti tablicu za relaciju $\rho$ i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija $\rho .$

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente relacije $\rho$ proverom uslova $x < y - 1$ za sve parove $(x, y)$ iz skupa $A \times A :$

\rho = \{(1, 3), (1, 4), (2, 4)\}

Prikazujemo relaciju $\rho$ pomoću tablice. U presecima redova i kolona pišemo 1 ako su elementi u relaciji (odnosno ako par pripada relaciji $\rho$ ), a 0 ako nisu:

1

2

3

4

1

0

0

1

1

2

0

0

0

1

3

0

0

0

0

4

0

0

0

0

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $x \rho x .$ Kako je $1 \not< 1 - 1 ,$ par $(1, 1) \notin \rho ,$ pa relacija nije refleksivna.

(\exists x \in A) \neg(x \rho x)

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako $x, y \in A$ iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$ Kako $(1, 3) \in \rho ,$ ali $(3, 1) \notin \rho ,$ relacija nije simetrična.

(\exists x, y \in A) (x \rho y \land \neg(y \rho x))

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako $x, y \in A$ iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$ Pošto u relaciji ne postoje dva različita elementa koja su međusobno u relaciji, pretpostavka je uvek netačna, pa je implikacija tačna. Relacija jeste antisimetrična.

(\forall x, y \in A) (x \rho y \land y \rho x \Rightarrow x = y)

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako $x, y, z \in A$ iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$ U relaciji $\rho$ ne postoje elementi takvi da je $x \rho y$ i $y \rho z$ (nijedan drugi element ne počinje onim čime se prvi završava). Zbog toga je pretpostavka uvek netačna, pa je implikacija tačna. Relacija jeste tranzitivna.

(\forall x, y, z \in A) (x \rho y \land y \rho z \Rightarrow x \rho z)

74.b