3191. Relacije | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Na skupu $A = \{0, 1, 2, 3\}$ definisana je relacija $\rho :$ g) $x \rho y \Leftrightarrow x + y \ge 3 .$ Napraviti tablicu za relaciju $\rho$ i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija $\rho .$

REŠENJE ZADATKA

Određujemo koji uređeni parovi $(x, y)$ iz skupa $A \times A$ pripadaju relaciji $\rho .$ Par pripada relaciji ako je zbir njegovih elemenata veći ili jednak 3.

\rho = \{(0,3), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3)\}

Pravimo tablicu za relaciju $\rho .$ U presecima redova i kolona pišemo 1 ako su elementi u relaciji, a 0 ako nisu.

\begin{array}{c|cccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako $x \in A$ važi $x \rho x .$ Kako za element 0 važi $0 + 0 = 0 < 3 ,$ par $(0,0)$ ne pripada relaciji. Dakle, relacija nije refleksivna.

\text{Relacija } \rho \text{ nije refleksivna.}

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako $x, y \in A$ iz $x \rho y$ sledi $y \rho x .$ Kako je sabiranje komutativno, važi $x + y \ge 3 \iff y + x \ge 3 .$ Dakle, relacija jeste simetrična.

\text{Relacija } \rho \text{ je simetrična.}

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako $x, y \in A$ iz $x \rho y$ i $y \rho x$ sledi $x = y .$ Pronalazimo kontraprimer: parovi $(1,2)$ i $(2,1)$ pripadaju relaciji, ali je $1 \neq 2 .$ Dakle, relacija nije antisimetrična.

\text{Relacija } \rho \text{ nije antisimetrična.}

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako $x, y, z \in A$ iz $x \rho y$ i $y \rho z$ sledi $x \rho z .$ Pronalazimo kontraprimer: parovi $(0,3)$ i $(3,0)$ pripadaju relaciji, ali par $(0,0)$ ne pripada relaciji. Dakle, relacija nije tranzitivna.

\text{Relacija } \rho \text{ nije tranzitivna.}

73.g