3191.

73.g

TEKST ZADATKA

Na skupu A={0,1,2,3} A = \{0, 1, 2, 3\} definisana je relacija ρ: \rho : g) xρy⇔x+y≥3. x \rho y \Leftrightarrow x + y \ge 3 . Napraviti tablicu za relaciju ρ \rho i ispitati koja od svojstava: refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost ima relacija ρ. \rho .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo koji uređeni parovi (x,y) (x, y) iz skupa A×A A \times A pripadaju relaciji ρ. \rho . Par pripada relaciji ako je zbir njegovih elemenata veći ili jednak 3.

ρ={(0,3),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}\rho = \{(0,3), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3)\}

Pravimo tablicu za relaciju ρ. \rho . U presecima redova i kolona pišemo 1 ako su elementi u relaciji, a 0 ako nisu.

ρ012300001100112011131111\begin{array}{c|cccc} \rho & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A x \in A važi xρx. x \rho x . Kako za element 0 važi 0+0=0<3, 0 + 0 = 0 < 3 , par (0,0) (0,0) ne pripada relaciji. Dakle, relacija nije refleksivna.

Relacija ρ nije refleksivna.\text{Relacija } \rho \text{ nije refleksivna.}

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako x,y∈A x, y \in A iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x . Kako je sabiranje komutativno, važi x+y≥3  ⟺  y+x≥3. x + y \ge 3 \iff y + x \ge 3 . Dakle, relacija jeste simetrična.

Relacija ρ je simetricˇna.\text{Relacija } \rho \text{ je simetrična.}

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako za svako x,y∈A x, y \in A iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y . Pronalazimo kontraprimer: parovi (1,2) (1,2) i (2,1) (2,1) pripadaju relaciji, ali je 1≠2. 1 \neq 2 . Dakle, relacija nije antisimetrična.

Relacija ρ nije antisimetricˇna.\text{Relacija } \rho \text{ nije antisimetrična.}

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako za svako x,y,z∈A x, y, z \in A iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z . Pronalazimo kontraprimer: parovi (0,3) (0,3) i (3,0) (3,0) pripadaju relaciji, ali par (0,0) (0,0) ne pripada relaciji. Dakle, relacija nije tranzitivna.

Relacija ρ nije tranzitivna.\text{Relacija } \rho \text{ nije tranzitivna.}