3190.

71.a

TEKST ZADATKA

U skupu {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} uvedene su relacije: a) xρy⇔x+y=8 x \rho y \Leftrightarrow x + y = 8 ; Nacrtati graf relacije i ispitati koja od svojstava refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost, tranzitivnost imaju ove relacije.

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti sve uređene parove (x,y) (x, y) koji pripadaju relaciji ρ. \rho . Elementi x x i y y moraju pripadati zadatom skupu A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} i ispunjavati uslov x+y=8. x + y = 8 . Graf relacije čine upravo ovi uređeni parovi (tačke u koordinatnom sistemu):

ρ={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)}\rho = \{(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)\}

Ispitujemo refleksivnost. Relacija je refleksivna ako za svako x∈A x \in A važi xρx. x \rho x . U našem slučaju, na primer za x=1, x = 1 , važi 1+1=2≠8, 1 + 1 = 2 \neq 8 , pa (1,1)∉ρ. (1, 1) \notin \rho .

Relacija nije refleksivna.\text{Relacija nije refleksivna.}

Ispitujemo simetričnost. Relacija je simetrična ako za svako x,y∈A x, y \in A iz xρy x \rho y sledi yρx. y \rho x . Kako je sabiranje komutativno, iz x+y=8 x + y = 8 uvek sledi y+x=8. y + x = 8 .

Relacija je simetricˇna.\text{Relacija je simetrična.}

Ispitujemo antisimetričnost. Relacija je antisimetrična ako iz xρy x \rho y i yρx y \rho x sledi x=y. x = y . Vidimo da (1,7)∈ρ (1, 7) \in \rho i (7,1)∈ρ, (7, 1) \in \rho , ali 1≠7. 1 \neq 7 .

Relacija nije antisimetricˇna.\text{Relacija nije antisimetrična.}

Ispitujemo tranzitivnost. Relacija je tranzitivna ako iz xρy x \rho y i yρz y \rho z sledi xρz. x \rho z . Imamo (1,7)∈ρ (1, 7) \in \rho i (7,1)∈ρ, (7, 1) \in \rho , ali (1,1)∉ρ. (1, 1) \notin \rho .

Relacija nije tranzitivna.\text{Relacija nije tranzitivna.}