1601. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prvo rešavamo poznatu kvadratnu jednačinu:

x^2 - 6x + 8 = 0

Računamo rešenja koristeći formulu za kvadratnu jednačinu:

x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}

Dobijamo da su rešenja prve jednačine:

x_1 = 2, \quad x_2 = 4

Pošto jednačine imaju oba rešenja zajednička, brojevi $2$ i $4$ moraju biti rešenja i druge jednačine. Zamenjujemo $x = 2$ u drugu jednačinu:

(2m - n) \cdot 2^2 - (m + 4) \cdot 2 + 4n - 2m = 0

Sređujemo dobijeni izraz:

4(2m - n) - 2(m + 4) + 4n - 2m = 0

Oslobađamo se zagrada i grupišemo slične članove:

8m - 4n - 2m - 8 + 4n - 2m = 0 \implies 4m - 8 = 0

Iz ove jednačine direktno računamo vrednost za $m :$

4m = 8 \implies m = 2

Sada zamenjujemo drugo rešenje $x = 4$ u drugu jednačinu:

(2m - n) \cdot 4^2 - (m + 4) \cdot 4 + 4n - 2m = 0

Sređujemo izraz:

16(2m - n) - 4(m + 4) + 4n - 2m = 0

Oslobađamo se zagrada:

32m - 16n - 4m - 16 + 4n - 2m = 0

Grupišemo slične članove:

26m - 12n - 16 = 0

Pošto smo već izračunali da je $m = 2 ,$ zamenjujemo tu vrednost u dobijenu jednačinu:

26 \cdot 2 - 12n - 16 = 0

Rešavamo jednačinu po $n :$

52 - 12n - 16 = 0 \implies 36 - 12n = 0

Konačno, računamo $n :$

12n = 36 \implies n = 3

Tražene vrednosti parametara su:

m = 2, \quad n = 3

221.б