Vietove formule: jedno rešenje je kvadrat drugog

Neka su $x_1$ i $x_2$ rešenja date kvadratne jednačine. Na osnovu Vijetovih pravila važi:

x_1 + x_2 = \frac{15}{4}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{4k^2}{4} = k^2

Prema uslovu zadatka, jedno rešenje je kvadrat drugog, pa možemo zapisati:

x_1 = x_2^2

Zamenjujemo uslov u prvu jednačinu iz Vijetovih pravila:

x_2^2 + x_2 = \frac{15}{4}

Množenjem sa $4$ dobijamo kvadratnu jednačinu po $x_2 :$

4x_2^2 + 4x_2 - 15 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

x_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot (-15)}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}

Dobijamo dve moguće vrednosti za $x_2 :$

x_2 = \frac{3}{2} \quad \lor \quad x_2 = -\frac{5}{2}

Slučaj 1: Ako je $x_2 = \frac{3}{2} ,$ tada je $x_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu iz Vijetovih pravila:

k^2 = x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{8}

Pošto je $k$ realan parametar, iz $k^2 = \frac{27}{8}$ računamo $k :$

k = \pm \sqrt{\frac{27}{8}} = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{4} = \pm \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}

Slučaj 2: Ako je $x_2 = -\frac{5}{2} ,$ tada je $x_1 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} .$ Zamenjujemo u drugu jednačinu:

k^2 = x_1 \cdot x_2 = \frac{25}{4} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{125}{8}

Kako je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, to jest $k^2 \ge 0 ,$ ovaj slučaj ne daje realna rešenja za $k .$

Konačno rešenje zadatka je:

k \in \left\{ -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

212

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci