1599.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačini 4x2−15x+4k2=0 4x^2 - 15x + 4k^2 = 0 odrediti vrednost realnog parametra k k tako da jedno rešenje jednačine bude kvadrat drugog.

REŠENJE ZADATKA

Neka su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja date kvadratne jednačine. Na osnovu Vijetovih pravila važi:

x1+x2=154,x1⋅x2=4k24=k2x_1 + x_2 = \frac{15}{4}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{4k^2}{4} = k^2

Prema uslovu zadatka, jedno rešenje je kvadrat drugog, pa možemo zapisati:

x1=x22x_1 = x_2^2

Zamenjujemo uslov u prvu jednačinu iz Vijetovih pravila:

x22+x2=154x_2^2 + x_2 = \frac{15}{4}

Množenjem sa 4 4 dobijamo kvadratnu jednačinu po x2: x_2 :

4x22+4x2−15=04x_2^2 + 4x_2 - 15 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

x2=−4±16−4⋅4⋅(−15)2⋅4=−4±2568=−4±168x_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot (-15)}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}

Dobijamo dve moguće vrednosti za x2: x_2 :

x2=32∨x2=−52x_2 = \frac{3}{2} \quad \lor \quad x_2 = -\frac{5}{2}

Slučaj 1: Ako je x2=32, x_2 = \frac{3}{2} , tada je x1=(32)2=94. x_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} . Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu iz Vijetovih pravila:

k2=x1⋅x2=94⋅32=278k^2 = x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{8}

Pošto je k k realan parametar, iz k2=278 k^2 = \frac{27}{8} računamo k: k :

k=±278=±3322=±364=±3232k = \pm \sqrt{\frac{27}{8}} = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{4} = \pm \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}

Slučaj 2: Ako je x2=−52, x_2 = -\frac{5}{2} , tada je x1=(−52)2=254. x_1 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} . Zamenjujemo u drugu jednačinu:

k2=x1⋅x2=254⋅(−52)=−1258k^2 = x_1 \cdot x_2 = \frac{25}{4} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{125}{8}

Kako je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, to jest k2≥0, k^2 \ge 0 , ovaj slučaj ne daje realna rešenja za k. k .

Konačno rešenje zadatka je:

k∈{−3232,3232}k \in \left\{ -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti