1596. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Na osnovu Vijetovih pravila za kvadratnu jednačinu $x^2 - 8x + 12 = 0 ,$ zapisujemo zbir i proizvod njenih rešenja:

x_1 + x_2 = 8, \quad x_1 x_2 = 12

Neka su rešenja nove jednačine $y_1$ i $y_2 .$ Prema uslovu zadatka, ona iznose:

y_1 = x_1 + \frac{1}{x_1}, \quad y_2 = x_2 + \frac{1}{x_2}

Nova kvadratna jednačina ima oblik $x^2 - Sx + P = 0 ,$ gde je $S = y_1 + y_2 ,$ a $P = y_1 y_2 .$ Računamo zbir rešenja $S :$

S = y_1 + y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) + \left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right)

Grupišemo sabirke kako bismo iskoristili Vijetova pravila i svodimo drugi deo na zajednički imenilac:

S = (x_1 + x_2) + \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 + x_2) + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih pravila u izraz za $S :$

S = 8 + \frac{8}{12} = 8 + \frac{2}{3} = \frac{26}{3}

Sada računamo proizvod rešenja $P :$

P = y_1 y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right)\left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right)

Množimo zagrade:

P = x_1 x_2 + \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{1}{x_1 x_2}

Svodimo srednja dva člana na zajednički imenilac:

P = x_1 x_2 + \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} + \frac{1}{x_1 x_2}

Zbir kvadrata rešenja izražavamo preko zbira i proizvoda: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 .$

x_1^2 + x_2^2 = 8^2 - 2 \cdot 12 = 64 - 24 = 40

Zamenjujemo sve poznate vrednosti u izraz za $P :$

P = 12 + \frac{40}{12} + \frac{1}{12} = 12 + \frac{41}{12}

Sabiramo kako bismo dobili konačnu vrednost proizvoda:

P = \frac{144 + 41}{12} = \frac{185}{12}

Zamenjujemo izračunate vrednosti $S$ i $P$ u opšti oblik kvadratne jednačine $x^2 - Sx + P = 0 :$

x^2 - \frac{26}{3}x + \frac{185}{12} = 0

Množimo celu jednačinu sa 12 kako bismo dobili celobrojne koeficijente:

12x^2 - 104x + 185 = 0

225