1450. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0$ su dati relacijama:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Da bismo odredili vrednost traženog izraza, potrebno je da ga zapišemo preko zbira i proizvoda rešenja. Prvo posmatramo formulu za kvadrat binoma:

(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2

Iz prethodne jednakosti izražavamo zbir kvadrata rešenja $x_1^2 + x_2^2 :$

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Sada u dobijeni izraz zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula:

x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)

Kvadriramo prvi sabirak, a zatim računamo razliku tako što svodimo razlomke na zajednički imenilac $a^2 :$

x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2ac}{a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}

1450.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce