Konjugovani količnici kao rešenja jedne jednačine

Kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima ima kompleksna rešenja samo ako su ona konjugovano-kompleksna, tj. $z_2 = \bar{z}_1 .$ Da bismo to proverili, najpre dovodimo $z_1$ i $z_2$ u algebarski oblik $x + yi .$ Množimo brojilac i imenilac broja $z_1$ konjugatom imenioca $(a + bi) :$

z_1 = \frac{a + bi}{a - bi} \cdot \frac{a + bi}{a + bi} = \frac{(a + bi)^2}{(a - bi)(a + bi)}

Razvijamo brojilac koristeći formulu $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ,$ i imenilac koristeći $(a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2 :$

(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi, \quad (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2

Dakle, algebarski oblik broja $z_1$ je:

z_1 = \frac{a^2 - b^2 + 2abi}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} + \frac{2ab}{a^2 + b^2}i

Na isti način dovodimo $z_2$ u algebarski oblik. Množimo brojilac i imenilac konjugatom imenioca $(a - bi) :$

z_2 = \frac{a - bi}{a + bi} \cdot \frac{a - bi}{a - bi} = \frac{(a - bi)^2}{(a + bi)(a - bi)}

Razvijamo brojilac koristeći $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ,$ imenilac ostaje isti $a^2 + b^2 :$

(a - bi)^2 = a^2 - 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 - 2abi

Dakle, algebarski oblik broja $z_2$ je:

z_2 = \frac{a^2 - b^2 - 2abi}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - \frac{2ab}{a^2 + b^2}i

Upoređujemo dobijene algebarske oblike. Realni delovi su jednaki, a imaginarni delovi su suprotnog znaka:

\text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}, \quad \text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2) = \frac{2ab}{a^2 + b^2}

Zaključujemo da je $z_2 = \bar{z}_1 ,$ tj. brojevi su konjugovano-kompleksni. Po teoremi o konjugatnim rešenjima, oni su rešenja neke kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima. Tu jednačinu nalazimo pomoću Vietovih formula — koristimo zbir i proizvod rešenja. Računamo zbir $z_1 + z_2 :$

z_1 + z_2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} + \frac{2ab}{a^2 + b^2}i + \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - \frac{2ab}{a^2 + b^2}i

Imaginarni delovi se poništavaju, ostaje samo realni deo:

z_1 + z_2 = \frac{2(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2} \in \mathbb{R}

Računamo proizvod $z_1 \cdot z_2$ direktno iz originalnih razlomaka — pre racionalizacije, jer se razlomci elegantno skrate:

z_1 \cdot z_2 = \frac{a + bi}{a - bi} \cdot \frac{a - bi}{a + bi} = \frac{(a + bi)(a - bi)}{(a - bi)(a + bi)}

Brojilac i imenilac su identični, pa je proizvod jednak 1:

z_1 \cdot z_2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1 \in \mathbb{R}

Pošto su i zbir i proizvod realni brojevi, po Vietovim formulama $z_1 + z_2 = -p$ i $z_1 \cdot z_2 = q ,$ koeficijenti kvadratne jednačine $z^2 + pz + q = 0$ su realni. Tražena jednačina je:

z^2 - (z_1 + z_2)\,z + z_1 z_2 = 0

Uvrštavamo izračunate vrednosti zbira i proizvoda:

z^2 - \frac{2(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2}\,z + 1 = 0

Zaključak: $z_1$ i $z_2$ jesu konjugovano-kompleksni brojevi (uz uslov $a^2 + b^2 \neq 0 ,$ tj. da $a$ i $b$ nisu oba nula), pa su rešenja kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima.

Započni učenje

Privatni časovi

170

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci