PrethodniSledeći
1437.

170

TEKST ZADATKA

Da li su kompleksni brojevi z1=a+bia−bi z_1 = \frac{a + bi}{a - bi} i z2=a−bia+bi z_2 = \frac{a - bi}{a + bi} rešenja jedne kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima?

z1=a+bia−bi,z2=a−bia+biz_1 = \frac{a + bi}{a - bi}, \quad z_2 = \frac{a - bi}{a + bi}
REŠENJE ZADATKA

Kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima ima kompleksna rešenja samo ako su ona konjugovano-kompleksna, tj. z2=zˉ1. z_2 = \bar{z}_1 . Da bismo to proverili, najpre dovodimo z1 z_1 i z2 z_2 u algebarski oblik x+yi. x + yi . Množimo brojilac i imenilac broja z1 z_1 konjugatom imenioca (a+bi): (a + bi) :

z1=a+bia−bi⋅a+bia+bi=(a+bi)2(a−bi)(a+bi)z_1 = \frac{a + bi}{a - bi} \cdot \frac{a + bi}{a + bi} = \frac{(a + bi)^2}{(a - bi)(a + bi)}

Razvijamo brojilac koristeći formulu (x+y)2=x2+2xy+y2, (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 , i imenilac koristeći (a−bi)(a+bi)=a2+b2: (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2 :

(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2−b2+2abi,(a−bi)(a+bi)=a2+b2(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi, \quad (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2

Dakle, algebarski oblik broja z1 z_1 je:

z1=a2−b2+2abia2+b2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2iz_1 = \frac{a^2 - b^2 + 2abi}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} + \frac{2ab}{a^2 + b^2}i

Na isti način dovodimo z2 z_2 u algebarski oblik. Množimo brojilac i imenilac konjugatom imenioca (a−bi): (a - bi) :

z2=a−bia+bi⋅a−bia−bi=(a−bi)2(a+bi)(a−bi)z_2 = \frac{a - bi}{a + bi} \cdot \frac{a - bi}{a - bi} = \frac{(a - bi)^2}{(a + bi)(a - bi)}

Razvijamo brojilac koristeći (x−y)2=x2−2xy+y2, (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 , imenilac ostaje isti a2+b2: a^2 + b^2 :

(a−bi)2=a2−2abi+b2i2=a2−b2−2abi(a - bi)^2 = a^2 - 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 - 2abi

Dakle, algebarski oblik broja z2 z_2 je:

z2=a2−b2−2abia2+b2=a2−b2a2+b2−2aba2+b2iz_2 = \frac{a^2 - b^2 - 2abi}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - \frac{2ab}{a^2 + b^2}i

Upoređujemo dobijene algebarske oblike. Realni delovi su jednaki, a imaginarni delovi su suprotnog znaka:

Re(z1)=Re(z2)=a2−b2a2+b2,Im(z1)=−Im(z2)=2aba2+b2\text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}, \quad \text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2) = \frac{2ab}{a^2 + b^2}

Zaključujemo da je z2=zˉ1, z_2 = \bar{z}_1 , tj. brojevi su konjugovano-kompleksni. Po teoremi o konjugatnim rešenjima, oni su rešenja neke kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima. Tu jednačinu nalazimo pomoću Vietovih formula — koristimo zbir i proizvod rešenja. Računamo zbir z1+z2: z_1 + z_2 :

z1+z2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i+a2−b2a2+b2−2aba2+b2iz_1 + z_2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} + \frac{2ab}{a^2 + b^2}i + \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - \frac{2ab}{a^2 + b^2}i

Imaginarni delovi se poništavaju, ostaje samo realni deo:

z1+z2=2(a2−b2)a2+b2∈Rz_1 + z_2 = \frac{2(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2} \in \mathbb{R}

Računamo proizvod z1⋅z2 z_1 \cdot z_2 direktno iz originalnih razlomaka — pre racionalizacije, jer se razlomci elegantno skrate:

z1⋅z2=a+bia−bi⋅a−bia+bi=(a+bi)(a−bi)(a−bi)(a+bi)z_1 \cdot z_2 = \frac{a + bi}{a - bi} \cdot \frac{a - bi}{a + bi} = \frac{(a + bi)(a - bi)}{(a - bi)(a + bi)}

Brojilac i imenilac su identični, pa je proizvod jednak 1:

z1⋅z2=a2+b2a2+b2=1∈Rz_1 \cdot z_2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1 \in \mathbb{R}

Pošto su i zbir i proizvod realni brojevi, po Vietovim formulama z1+z2=−p z_1 + z_2 = -p i z1⋅z2=q, z_1 \cdot z_2 = q , koeficijenti kvadratne jednačine z2+pz+q=0 z^2 + pz + q = 0 su realni. Tražena jednačina je:

z2−(z1+z2) z+z1z2=0z^2 - (z_1 + z_2)\,z + z_1 z_2 = 0

Uvrštavamo izračunate vrednosti zbira i proizvoda:

z2−2(a2−b2)a2+b2 z+1=0z^2 - \frac{2(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2}\,z + 1 = 0

Zaključak: z1 z_1 i z2 z_2 jesu konjugovano-kompleksni brojevi (uz uslov a2+b2≠0, a^2 + b^2 \neq 0 , tj. da a a i b b nisu oba nula), pa su rešenja kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu