Znaci rešenja i parametar m: x kvadrat - 7x + 2m - 4

Prvo identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 :$

a = 1, \quad b = -7, \quad c = 2m - 4

Da bi rešenja bila realna, diskriminanta $D$ mora biti veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 4) = 49 - 8m + 16 = 65 - 8m

Uslov za realnost rešenja $D \ge 0 :$

65 - 8m \ge 0 \implies 8m \le 65 \implies m \le \frac{65}{8}

Rešavamo prvi deo (1°): Oba rešenja su pozitivna ( $x_1 > 0, x_2 > 0$ ). Prema Vijetovim formulama i teoriji, to znači:

\begin{cases} D \ge 0 \\ x_1 + x_2 > 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}

Zamenjujemo vrednosti u sistem nejednačina za prvi slučaj:

\begin{cases} m \le \frac{65}{8} \\ -\frac{b}{a} = 7 > 0 \quad (uvek \, tačno) \\ \frac{c}{a} = 2m - 4 > 0 \end{cases}

Iz $2m - 4 > 0$ dobijamo $m > 2 .$ Kombinovanjem sa uslovom realnosti, rešenje za 1° je:

m \in (2, \frac{65}{8}]

Rešavamo drugi deo (2°): Realna rešenja suprotnog znaka. To se dešava kada je proizvod rešenja negativan:

x_1 \cdot x_2 < 0 \implies \frac{c}{a} < 0

Računamo vrednost parametra $m$ za drugi slučaj. Napomena: Ako je $c < 0$ i $a > 0 ,$ diskriminanta je uvek pozitivna, pa je uslov $D \ge 0$ automatski ispunjen.

2m - 4 < 0 \implies 2m < 4 \implies m < 2

Konačna rešenja zadatka po tačkama su:

1^\circ \, m \in (2, \frac{65}{8}], \quad 2^\circ \, m < 2

Započni učenje

Privatni časovi

167

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci