Razlomačka jednačina: (x+1)/(x-1) + (x-1)/(x+1)

Prvo određujemo domen jednačine. Imenilac ne sme biti nula, pa postavljamo uslove:

x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \quad \text{i} \quad x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1

Primećujemo da je $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) .$ Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem da bismo se oslobodili razlomaka.

(x + 1)^2 + (x - 1)^2 = 3x^2 - 2

Razvijamo kvadrate binoma na levoj strani jednačine koristeći formulu $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 .$

(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 2

Sređujemo levu stranu jednačine sabiranjem sličnih članova.

2x^2 + 2 = 3x^2 - 2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili standardni oblik kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 .$

3x^2 - 2x^2 - 2 - 2 = 0 \implies x^2 - 4 = 0

Računamo rešenja jednačine. Ovo je nepotpuna kvadratna jednačina gde je $b = 0 .$

x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = 2, \quad x_2 = -2

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu. Pošto su oba rešenja različita od 1 i -1, oba su važeća.

x \in \{ -2, 2 \}

152.v