3369. Prosti brojevi i rastavljanje na proste činioce

TEKST ZADATKA

Odrediti proste brojeve $p ,$ $q$ i $r$ takve da je $2p + 3q + 4r = 302 .$

REŠENJE ZADATKA

Analizirajmo parnost sabiraka u datoj jednačini. Brojevi $2p ,$ $4r$ i $302$ su parni brojevi, jer su deljivi sa 2.

Izrazimo $3q$ preko ostalih članova jednačine.

3q = 302 - 2p - 4r

Izdvojimo broj 2 ispred zagrade na desnoj strani.

3q = 2(151 - p - 2r)

Pošto je desna strana jednačine deljiva sa 2 (paran broj), mora biti i leva strana. Kako je 3 neparan broj, sledi da $q$ mora biti paran broj.

Jedini paran prost broj je 2, pa zaključujemo da je $q = 2 .$

q = 2

Zamenimo vrednost $q = 2$ u početnu jednačinu.

2p + 3 \cdot 2 + 4r = 302

Sredimo dobijenu jednačinu prebacivanjem poznatih vrednosti na desnu stranu.

2p + 4r = 302 - 6 \implies 2p + 4r = 296

Podelimo celu jednačinu sa 2 kako bismo je pojednostavili.

p + 2r = 148

Ponovo analiziramo parnost. Brojevi $2r$ i $148$ su parni. Izrazimo $p$ preko ostalih članova.

p = 148 - 2r = 2(74 - r)

Desna strana je deljiva sa 2, što znači da i $p$ mora biti paran broj. Pošto je $p$ prost broj, jedina mogućnost je da bude jednak 2.

p = 2

Zamenimo $p = 2$ u jednačinu $p + 2r = 148$ da bismo izračunali $r .$

2 + 2r = 148

Rešimo jednačinu po $r .$

2r = 146 \implies r = 73

Proverimo da li je 73 prost broj. Prosti brojevi manji od $\sqrt{73} \approx 8.5$ su 2, 3, 5 i 7. Broj 73 nije deljiv nijednim od njih, pa zaključujemo da jeste prost broj.

Konačno rešenje su traženi prosti brojevi.

(p, q, r) = (2, 2, 73)

179