3530. Približne vrednosti realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Odrediti apsolutnu i relativnu grešku približne vrednosti $\frac{1}{3} \approx 0,333 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo tačnu vrednost $x$ i njenu približnu vrednost $x' .$

x = \frac{1}{3}, \quad x' = 0,333 = \frac{333}{1000}

Apsolutna greška se definiše kao apsolutna vrednost razlike tačnog broja i njegove približne vrednosti.

\Delta(x') = |x - x'|

Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću za razliku $x - x' .$

|x - x'| = \begin{cases} x - x', & \text{za } x - x' \ge 0 \\ -(x - x'), & \text{za } x - x' < 0 \end{cases}

Računamo razliku $x - x'$ kako bismo odredili apsolutnu grešku.

x - x' = \frac{1}{3} - \frac{333}{1000} = \frac{1000 - 999}{3000} = \frac{1}{3000}

Pošto je razlika pozitivna, apsolutna greška je:

\Delta(x') = \left| \frac{1}{3000} \right| = \frac{1}{3000}

Relativna greška se definiše kao količnik apsolutne greške i apsolutne vrednosti tačnog broja.

\delta(x') = \frac{\Delta(x')}{|x|}

Definišemo apsolutnu vrednost tačnog broja $x .$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Računamo relativnu grešku uvrštavanjem poznatih vrednosti.

\delta(x') = \frac{\frac{1}{3000}}{\left| \frac{1}{3} \right|} = \frac{\frac{1}{3000}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{3000} = \frac{1}{1000}

Konačne vrednosti grešaka su:

\Delta(x') = \frac{1}{3000}, \quad \delta(x') = 0,001 = 0,1\%

224.v