6283. Permutacije i permutacije sa ponavljanjem

Permutacija sa ponavljanjem tipa $(k_1,k_2,\ldots,k_m)$ je uređena $n$ -torka u kojoj se element $a_1$ pojavljuje $k_1$ puta, …, element $a_m$ $k_m$ puta, gde je $k_1+\cdots+k_m=n$ ; takvih ima $P_{(k_1,\ldots,k_m)}(n)=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_m!} .$ (Kada bi svi elementi bili različiti, bilo bi $n!$ rasporeda; međusobnim zamenama jednakih elemenata ne dobija se novi raspored, pa delimo sa $k_1!\cdots k_m! .$ ) Reč PRAVA ima slovo A dva puta, a P, R, V po jednom, pa je to permutacija sa ponavljanjem tipa $(2,1,1,1) :$

P_{(2,1,1,1)}(5)=\frac{5!}{2!}=60

Ispisujemo ih po abecednom redu latiničnih slova ( $A<P<R<V$ ), u blokovima po prvom slovu. Ako je prvo slovo A, preostala slova A, P, R, V su različita, pa blok ima $4!=24$ reči; ako je prvo slovo P, R ili V, preostala slova imaju dva A, pa blok ima $\frac{4!}{2!}=12$ reči ( $24+3\cdot12=60$ ).

Blok sa početnim slovom $\text{A} :$

\begin{aligned}&1.\,\text{AAPRV}\ 2.\,\text{AAPVR}\ 3.\,\text{AARPV}\ 4.\,\text{AARVP}\ 5.\,\text{AAVPR}\ 6.\,\text{AAVRP}\\&7.\,\text{APARV}\ 8.\,\text{APAVR}\ 9.\,\text{APRAV}\ 10.\,\text{APRVA}\ 11.\,\text{APVAR}\ 12.\,\text{APVRA}\\&13.\,\text{ARAPV}\ 14.\,\text{ARAVP}\ 15.\,\text{ARPAV}\ 16.\,\text{ARPVA}\ 17.\,\text{ARVAP}\ 18.\,\text{ARVPA}\\&19.\,\text{AVAPR}\ 20.\,\text{AVARP}\ 21.\,\text{AVPAR}\ 22.\,\text{AVPRA}\ 23.\,\text{AVRAP}\ 24.\,\text{AVRPA}\end{aligned}

Blok sa početnim slovom $\text{P} :$

\begin{aligned}&25.\,\text{PAARV}\ 26.\,\text{PAAVR}\ 27.\,\text{PARAV}\ 28.\,\text{PARVA}\ 29.\,\text{PAVAR}\ 30.\,\text{PAVRA}\\&31.\,\text{PRAAV}\ 32.\,\text{PRAVA}\ 33.\,\text{PRVAA}\ 34.\,\text{PVAAR}\ 35.\,\text{PVARA}\ 36.\,\text{PVRAA}\end{aligned}

Blok sa početnim slovom $\text{R} :$

\begin{aligned}&37.\,\text{RAAPV}\ 38.\,\text{RAAVP}\ 39.\,\text{RAPAV}\ 40.\,\text{RAPVA}\ 41.\,\text{RAVAP}\ 42.\,\text{RAVPA}\\&43.\,\text{RPAAV}\ 44.\,\text{RPAVA}\ 45.\,\text{RPVAA}\ 46.\,\text{RVAAP}\ 47.\,\text{RVAPA}\ 48.\,\text{RVPAA}\end{aligned}

Blok sa početnim slovom $\text{V} :$

\begin{aligned}&49.\,\text{VAAPR}\ 50.\,\text{VAARP}\ 51.\,\text{VAPAR}\ 52.\,\text{VAPRA}\ 53.\,\text{VARAP}\ 54.\,\text{VARPA}\\&55.\,\text{VPAAR}\ 56.\,\text{VPARA}\ 57.\,\text{VPRAA}\ 58.\,\text{VRAAP}\ 59.\,\text{VRAPA}\ 60.\,\text{VRPAA}\end{aligned}

Napomena: u ćirilici (reč ПРАВА) azbučni red slova je $А<В<П<Р ,$ tj. V dolazi pre P i R. Zato bi u ćiriličnom zapisu redosled blokova bio A, V, P, R: posle bloka sa početnim slovom A (mesta $1$ – $24$ ) dolazio bi blok sa početnim slovom V (mesta $25$ – $36$ ), pa P (mesta $37$ – $48$ ) i R (mesta $49$ – $60$ ). I unutar blokova bi se V pomerilo ispred P i R (npr. u bloku A: AAVPR, AAVRP, AAPVR, …). Skup permutacija je isti, menja se samo njihov redosled.

Dakle, ima $\frac{5!}{2!}=60$ permutacija reči PRAVA, ispisanih u gornjim blokovima.

Započni učenje

Privatni časovi

441.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci