5514. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva koristimo $(e^x)'=e^x$ i $(a^x)'=a^x\ln a .$ Funkciju $e^{-x}$ zapisujemo kao $\left(\frac1e\right)^x$ ; pošto je $\ln\frac1e=-1 ,$ dobijamo:

\left(e^{-x}\right)'=\left(\frac1e\right)^x\ln\frac1e=-e^{-x}

Hiperbolički sinus je razlika podeljena sa $2 ,$ pa diferenciramo član po član; minus iz $(e^{-x})'=-e^{-x}$ pretvara razliku u zbir:

(\operatorname{sh}x)'=\frac{e^x-\left(-e^{-x}\right)}2=\frac{e^x+e^{-x}}2=\operatorname{ch}x

Na isti način za hiperbolički kosinus:

(\operatorname{ch}x)'=\frac{e^x+\left(-e^{-x}\right)}2=\frac{e^x-e^{-x}}2=\operatorname{sh}x

Pre količnika nam treba jedna veza. Kvadriramo i oduzimamo, koristeći $e^x\cdot e^{-x}=1 :$

\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4=\frac44=1

Pošto je $\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}$ (imenilac $\operatorname{ch}x$ je uvek pozitivan), primenjujemo pravilo za količnik $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} :$

(\operatorname{th}x)'=\frac{\operatorname{ch}x\cdot\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x\cdot\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^2x}=\frac1{\operatorname{ch}^2x}

Slično, $\operatorname{cth}x=\frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}x}$ za $x\neq0$ (tada je $\operatorname{sh}x\neq0$ ); pazite na redosled u brojiocu:

(\operatorname{cth}x)'=\frac{\operatorname{sh}x\cdot\operatorname{sh}x-\operatorname{ch}x\cdot\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}^2x}=-\frac{\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x}{\operatorname{sh}^2x}=-\frac1{\operatorname{sh}^2x}

Provera za $x=1 :$ $\operatorname{ch}1=\frac{e+e^{-1}}2\approx1{,}5431 ,$ a količnik priraštaja funkcije $\operatorname{sh}$ za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\operatorname{sh}(1{,}0001)-\operatorname{sh}1}{0{,}0001}\approx1{,}5431 .$

Izvodi hiperboličkih funkcija su $(\operatorname{sh}x)'=\operatorname{ch}x ,$ $(\operatorname{ch}x)'=\operatorname{sh}x ,$ $(\operatorname{th}x)'=\frac1{\operatorname{ch}^2x}$ i $(\operatorname{cth}x)'=-\frac1{\operatorname{sh}^2x} ,$ za $x\neq0 .$

Započni učenje

Online časovi

184

Beleške