Grafik funkcije: sin od apsolutne vrednosti x

Pre početka ispitivanja toka funkcije, definisaćemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Na osnovu ovoga, funkciju možemo zapisati u obliku:

y = \begin{cases} \sin x, & \text{za } x \ge 0 \\ \sin(-x), & \text{za } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} \sin x, & \text{za } x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

1. Domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

2. Parnost funkcije. Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna računajući $f(-x) .$

f(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = f(x)

Pošto je $f(-x) = f(x) ,$ funkcija je parna. Njen grafik je simetričan u odnosu na y-osu. Zbog ovoga je dovoljno ispitati funkciju za $x \ge 0$ i preslikati grafik simetrično.

3. Periodičnost. Iako je sinusna funkcija periodična, zbog apsolutne vrednosti funkcija u celini nije periodična na celom domenu. Ipak, za $x > 0$ se ponaša kao periodična funkcija sa periodom $2\pi .$

4. Nule funkcije. Rešavamo jednačinu $y = 0 .$

\sin |x| = 0 \implies |x| = k\pi \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

5. Znak funkcije. Posmatramo interval $x > 0$ gde je $y = \sin x .$

y > 0 \text{ za } x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \quad y < 0 \text{ za } x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi), \quad k \in \mathbb{N}_0

6. Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti. Računamo prvi izvod za $x > 0 .$

y' = (\sin x)' = \cos x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da nađemo stacionarne tačke za $x > 0 .$

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{N}_0

Za $x > 0 ,$ funkcija raste kada je $\cos x > 0$ i opada kada je $\cos x < 0 .$ Maksimumi su u tačkama $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ gde je $y = 1 ,$ a minimumi u $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ gde je $y = -1 .$

Ispitujemo diferencijabilnost u tački $x = 0 .$ Tražimo levi i desni izvod.

\lim_{x \to 0^-} y' = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -1, \quad \lim_{x \to 0^+} y' = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = 1

Pošto levi i desni izvod u nuli nisu jednaki, funkcija nije diferencijabilna u $x = 0 .$ Tu se nalazi lokalni minimum (šiljak) jer funkcija opada za $x < 0$ (blizu nule) i raste za $x > 0 .$

T_{min}(0, 0)

7. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke. Računamo drugi izvod za $x > 0 .$

y'' = (\cos x)' = -\sin x

Za $x > 0 ,$ funkcija je konveksna (okrenuta na gore) kada je $y'' > 0 ,$ odnosno $\sin x < 0 .$ Konkavna je kada je $y'' < 0 ,$ odnosno $\sin x > 0 .$ Prevojne tačke su nule drugog izvoda.

y'' = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{N}

8. Asimptote. Funkcija je neprekidna na celom domenu, pa nema vertikalnih asimptota. Kako je periodična za $x > 0$ i $x < 0 ,$ ne teži konačnoj vrednosti kada $x \to \pm\infty ,$ pa nema ni horizontalnih ni kosih asimptota.

9. Grafik funkcije se crta tako što se za $x \ge 0$ nacrta standardni grafik funkcije $y = \sin x ,$ a zatim se taj deo simetrično preslika u odnosu na y-osu za $x < 0 .$

Započni učenje

Online časovi

860.a

Beleške