2760. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

Ispitujemo parnost funkcije. Zamenjujemo $x$ sa $-x .$

f(-x) = \sin \left(-\frac{x}{2}\right) = -\sin \frac{x}{2} = -f(x)

Pošto je $f(-x) = -f(x) ,$ funkcija je neparna. Zatim određujemo osnovni period funkcije.

T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi

Određujemo nule funkcije rešavajući jednačinu $f(x) = 0 .$

\sin \frac{x}{2} = 0 \iff \frac{x}{2} = k\pi \iff x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Određujemo presek sa y-osom zamenjujući $x = 0 .$

f(0) = \sin 0 = 0

Određujemo znak funkcije. Funkcija je pozitivna kada je $\sin \frac{x}{2} > 0 .$

\frac{x}{2} \in (2k\pi, \pi + 2k\pi) \iff x \in (4k\pi, 2\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna kada je $\sin \frac{x}{2} < 0 .$

\frac{x}{2} \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi) \iff x \in (2\pi + 4k\pi, 4\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Računamo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost.

y' = \left(\sin \frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}

Određujemo nule prvog izvoda (stacionarne tačke).

\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = 0 \iff \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo znak prvog izvoda. Funkcija raste kada je $y' > 0 .$

\frac{x}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \iff x \in (-\pi + 4k\pi, \pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija opada kada je $y' < 0 .$

\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) \iff x \in (\pi + 4k\pi, 3\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Određujemo ekstremne vrednosti. Lokalni maksimumi se dostižu za $x = \pi + 4k\pi .$

y_{max} = \sin \left(\frac{\pi + 4k\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 1

Lokalni minimumi se dostižu za $x = 3\pi + 4k\pi .$

y_{min} = \sin \left(\frac{3\pi + 4k\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) = -1

Računamo drugi izvod funkcije da bismo ispitali konveksnost.

y'' = \left(\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}\right)' = -\frac{1}{4} \sin \frac{x}{2}

Određujemo nule drugog izvoda (potencijalne prevojne tačke).

-\frac{1}{4} \sin \frac{x}{2} = 0 \iff \sin \frac{x}{2} = 0 \iff x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo znak drugog izvoda. Funkcija je konveksna (okrenuta nagore) kada je $y'' > 0 .$

\sin \frac{x}{2} < 0 \iff x \in (2\pi + 4k\pi, 4\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta nadole) kada je $y'' < 0 .$

\sin \frac{x}{2} > 0 \iff x \in (4k\pi, 2\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Prevojne tačke su tačke u kojima drugi izvod menja znak, što se dešava u nulama funkcije.

P(2k\pi, 0), \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo asimptote. Pošto je domen ceo skup realnih brojeva i funkcija je neprekidna, nema vertikalnih asimptota. Takođe, pošto je funkcija periodična, nema ni horizontalnih ni kosih asimptota.

841