2760.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): y=sin⁡x2. y = \sin \frac{x}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=RD_f = \mathbb{R}

Ispitujemo parnost funkcije. Zamenjujemo x x sa −x. -x .

f(−x)=sin⁡(−x2)=−sin⁡x2=−f(x)f(-x) = \sin \left(-\frac{x}{2}\right) = -\sin \frac{x}{2} = -f(x)

Pošto je f(−x)=−f(x), f(-x) = -f(x) , funkcija je neparna. Zatim određujemo osnovni period funkcije.

T=2π12=4πT = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi

Određujemo nule funkcije rešavajući jednačinu f(x)=0. f(x) = 0 .

sin⁡x2=0  ⟺  x2=kπ  ⟺  x=2kπ,k∈Z\sin \frac{x}{2} = 0 \iff \frac{x}{2} = k\pi \iff x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Određujemo presek sa y-osom zamenjujući x=0. x = 0 .

f(0)=sin⁡0=0f(0) = \sin 0 = 0

Određujemo znak funkcije. Funkcija je pozitivna kada je sin⁡x2>0. \sin \frac{x}{2} > 0 .

x2∈(2kπ,π+2kπ)  ⟺  x∈(4kπ,2π+4kπ),k∈Z\frac{x}{2} \in (2k\pi, \pi + 2k\pi) \iff x \in (4k\pi, 2\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna kada je sin⁡x2<0. \sin \frac{x}{2} < 0 .

x2∈(π+2kπ,2π+2kπ)  ⟺  x∈(2π+4kπ,4π+4kπ),k∈Z\frac{x}{2} \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi) \iff x \in (2\pi + 4k\pi, 4\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Računamo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost.

y′=(sin⁡x2)′=12cos⁡x2y' = \left(\sin \frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}

Određujemo nule prvog izvoda (stacionarne tačke).

12cos⁡x2=0  ⟺  x2=π2+kπ  ⟺  x=π+2kπ,k∈Z\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = 0 \iff \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo znak prvog izvoda. Funkcija raste kada je y′>0. y' > 0 .

x2∈(−π2+2kπ,π2+2kπ)  ⟺  x∈(−π+4kπ,π+4kπ),k∈Z\frac{x}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \iff x \in (-\pi + 4k\pi, \pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija opada kada je y′<0. y' < 0 .

x2∈(π2+2kπ,3π2+2kπ)  ⟺  x∈(π+4kπ,3π+4kπ),k∈Z\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) \iff x \in (\pi + 4k\pi, 3\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Određujemo ekstremne vrednosti. Lokalni maksimumi se dostižu za x=π+4kπ. x = \pi + 4k\pi .

ymax=sin⁡(π+4kπ2)=sin⁡(π2+2kπ)=1y_{max} = \sin \left(\frac{\pi + 4k\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 1

Lokalni minimumi se dostižu za x=3π+4kπ. x = 3\pi + 4k\pi .

ymin=sin⁡(3π+4kπ2)=sin⁡(3π2+2kπ)=−1y_{min} = \sin \left(\frac{3\pi + 4k\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) = -1

Računamo drugi izvod funkcije da bismo ispitali konveksnost.

y′′=(12cos⁡x2)′=−14sin⁡x2y'' = \left(\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}\right)' = -\frac{1}{4} \sin \frac{x}{2}

Određujemo nule drugog izvoda (potencijalne prevojne tačke).

−14sin⁡x2=0  ⟺  sin⁡x2=0  ⟺  x=2kπ,k∈Z-\frac{1}{4} \sin \frac{x}{2} = 0 \iff \sin \frac{x}{2} = 0 \iff x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo znak drugog izvoda. Funkcija je konveksna (okrenuta nagore) kada je y′′>0. y'' > 0 .

sin⁡x2<0  ⟺  x∈(2π+4kπ,4π+4kπ),k∈Z\sin \frac{x}{2} < 0 \iff x \in (2\pi + 4k\pi, 4\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta nadole) kada je y′′<0. y'' < 0 .

sin⁡x2>0  ⟺  x∈(4kπ,2π+4kπ),k∈Z\sin \frac{x}{2} > 0 \iff x \in (4k\pi, 2\pi + 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Prevojne tačke su tačke u kojima drugi izvod menja znak, što se dešava u nulama funkcije.

P(2kπ,0),k∈ZP(2k\pi, 0), \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo asimptote. Pošto je domen ceo skup realnih brojeva i funkcija je neprekidna, nema vertikalnih asimptota. Takođe, pošto je funkcija periodična, nema ni horizontalnih ni kosih asimptota.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti