2759.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcija (zadaci 859-864): y=tg∣x∣. y = \text{tg} |x| .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo definisati izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

1. **Domen funkcije** Funkcija tangens je definisana za sve realne brojeve osim za one gde je kosinus jednak nuli. Pošto je cos⁡∣x∣=cos⁡x, \cos|x| = \cos x , uslov je:

cos⁡x≠0  ⟹  x≠π2+kπ,k∈Z\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Domen funkcije je:

D=R∖{π2+kπ∣k∈Z}D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

2. **Parnost i neparnost** Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna:

f(−x)=tg∣−x∣=tg∣x∣=f(x)f(-x) = \text{tg} |-x| = \text{tg} |x| = f(x)

Pošto je f(−x)=f(x), f(-x) = f(x) , funkcija je parna. Njen grafik je simetričan u odnosu na y-osu, pa je dovoljno ispitati funkciju za x≥0. x \ge 0 .

3. **Periodičnost** Iako je funkcija tgx \text{tg} x periodična sa periodom π, \pi , funkcija f(x)=tg∣x∣ f(x) = \text{tg} |x| nije periodična na celom domenu zbog apsolutne vrednosti. Na primer, f(−π4)=1, f(-\frac{\pi}{4}) = 1 , dok je f(−π4+π)=f(3π4)=−1. f(-\frac{\pi}{4} + \pi) = f(\frac{3\pi}{4}) = -1 .

4. **Nule funkcije** Tražimo tačke preseka sa x-osom:

f(x)=0  ⟺  tg∣x∣=0  ⟺  ∣x∣=kπ,k∈N0f(x) = 0 \iff \text{tg} |x| = 0 \iff |x| = k\pi, \quad k \in \mathbb{N}_0

Rešavanjem ove jednačine dobijamo nule funkcije:

x=kπ,k∈Zx = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

5. **Znak funkcije** Za x≥0 x \ge 0 funkcija je f(x)=tgx. f(x) = \text{tg} x . Znak funkcije na intervalima:

f(x)>0za x∈(kπ,π2+kπ),k≥0f(x)<0za x∈(π2+kπ,(k+1)π),k≥0\begin{aligned} f(x) > 0 & \quad \text{za } x \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \quad k \ge 0 \\ f(x) < 0 & \quad \text{za } x \in \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi \right), \quad k \ge 0 \end{aligned}

Zbog parnosti funkcije, znak za x<0 x < 0 je isti kao znak za −x. -x .

6. **Asimptote** Funkcija nema horizontalne ni kose asimptote. Vertikalne asimptote se nalaze u tačkama prekida x=π2+kπ. x = \frac{\pi}{2} + k\pi . Za x>0 x > 0 imamo:

lim⁡x→(π2+kπ)−tgx=+∞lim⁡x→(π2+kπ)+tgx=−∞\begin{aligned} \lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^-} \text{tg} x &= +\infty \\ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^+} \text{tg} x &= -\infty \end{aligned}

Zbog simetrije, slično važi i za x<0. x < 0 . Prave x=π2+kπ x = \frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Z k \in \mathbb{Z} ) su vertikalne asimptote.

7. **Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti** Računamo prvi izvod funkcije. Za x>0 x > 0 imamo f(x)=tgx, f(x) = \text{tg} x , a za x<0 x < 0 imamo f(x)=tg(−x)=−tgx. f(x) = \text{tg}(-x) = -\text{tg} x .

f′(x)={1cos⁡2x,za x>0−1cos⁡2x,za x<0f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{\cos^2 x}, & \text{za } x > 0 \\ -\frac{1}{\cos^2 x}, & \text{za } x < 0 \end{cases}

U tački x=0 x = 0 ispitujemo levi i desni izvod:

f+′(0)=lim⁡x→0+tgx−0x=1f−′(0)=lim⁡x→0−−tgx−0x=−1\begin{aligned} f'_+(0) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{tg} x - 0}{x} = 1 \\ f'_-(0) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{-\text{tg} x - 0}{x} = -1 \end{aligned}

Pošto su levi i desni izvod različiti, funkcija nije diferencijabilna u x=0 x = 0 (ima šiljak).

Za x>0 x > 0 je f′(x)>0, f'(x) > 0 , pa funkcija raste na svakom intervalu definisanosti. Za x<0 x < 0 je f′(x)<0, f'(x) < 0 , pa funkcija opada.

Pošto funkcija opada za x<0 x < 0 i raste za x>0, x > 0 , u tački x=0 x = 0 funkcija ima lokalni minimum:

Tmin(0,0)T_{\text{min}}(0, 0)

8. **Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke** Računamo drugi izvod funkcije:

f′′(x)={2sin⁡xcos⁡3x,za x>0−2sin⁡xcos⁡3x,za x<0f''(x) = \begin{cases} \frac{2\sin x}{\cos^3 x}, & \text{za } x > 0 \\ -\frac{2\sin x}{\cos^3 x}, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Za x>0, x > 0 , znak drugog izvoda zavisi od znaka sin⁡x \sin x i cos⁡x. \cos x . Drugi izvod je jednak nuli kada je sin⁡x=0, \sin x = 0 , odnosno za x=kπ x = k\pi (k∈N k \in \mathbb{N} ).

Analiziramo znak drugog izvoda za x>0: x > 0 :

f′′(x)>0za x∈(kπ,π2+kπ)  ⟹  funkcija je konveksna (∪)f′′(x)<0za x∈(π2+kπ,(k+1)π)  ⟹  funkcija je konkavna (∩)\begin{aligned} f''(x) > 0 & \quad \text{za } x \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \implies \text{funkcija je konveksna (}\cup\text{)} \\ f''(x) < 0 & \quad \text{za } x \in \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi \right) \implies \text{funkcija je konkavna (}\cap\text{)} \end{aligned}

Prevojne tačke su one u kojima drugi izvod menja znak i u kojima je funkcija definisana. To su tačke:

Pk(kπ,0),k∈Z∖{0}P_k(k\pi, 0), \quad k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti