Grafik funkcije: tg od apsolutne vrednosti x

Prvo ćemo definisati izraz pod apsolutnom vrednošću:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

1. **Domen funkcije** Funkcija tangens je definisana za sve realne brojeve osim za one gde je kosinus jednak nuli. Pošto je $\cos|x| = \cos x ,$ uslov je:

\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Domen funkcije je:

D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

2. **Parnost i neparnost** Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna:

f(-x) = \text{tg} |-x| = \text{tg} |x| = f(x)

Pošto je $f(-x) = f(x) ,$ funkcija je parna. Njen grafik je simetričan u odnosu na y-osu, pa je dovoljno ispitati funkciju za $x \ge 0 .$

3. **Periodičnost** Iako je funkcija $\text{tg} x$ periodična sa periodom $\pi ,$ funkcija $f(x) = \text{tg} |x|$ nije periodična na celom domenu zbog apsolutne vrednosti. Na primer, $f(-\frac{\pi}{4}) = 1 ,$ dok je $f(-\frac{\pi}{4} + \pi) = f(\frac{3\pi}{4}) = -1 .$

4. **Nule funkcije** Tražimo tačke preseka sa x-osom:

f(x) = 0 \iff \text{tg} |x| = 0 \iff |x| = k\pi, \quad k \in \mathbb{N}_0

Rešavanjem ove jednačine dobijamo nule funkcije:

x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

5. **Znak funkcije** Za $x \ge 0$ funkcija je $f(x) = \text{tg} x .$ Znak funkcije na intervalima:

\begin{aligned} f(x) > 0 & \quad \text{za } x \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \quad k \ge 0 \\ f(x) < 0 & \quad \text{za } x \in \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi \right), \quad k \ge 0 \end{aligned}

Zbog parnosti funkcije, znak za $x < 0$ je isti kao znak za $-x .$

6. **Asimptote** Funkcija nema horizontalne ni kose asimptote. Vertikalne asimptote se nalaze u tačkama prekida $x = \frac{\pi}{2} + k\pi .$ Za $x > 0$ imamo:

\begin{aligned} \lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^-} \text{tg} x &= +\infty \\ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^+} \text{tg} x &= -\infty \end{aligned}

Zbog simetrije, slično važi i za $x < 0 .$ Prave $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) su vertikalne asimptote.

7. **Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti** Računamo prvi izvod funkcije. Za $x > 0$ imamo $f(x) = \text{tg} x ,$ a za $x < 0$ imamo $f(x) = \text{tg}(-x) = -\text{tg} x .$

f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{\cos^2 x}, & \text{za } x > 0 \\ -\frac{1}{\cos^2 x}, & \text{za } x < 0 \end{cases}

U tački $x = 0$ ispitujemo levi i desni izvod:

\begin{aligned} f'_+(0) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{tg} x - 0}{x} = 1 \\ f'_-(0) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{-\text{tg} x - 0}{x} = -1 \end{aligned}

Pošto su levi i desni izvod različiti, funkcija nije diferencijabilna u $x = 0$ (ima šiljak).

Za $x > 0$ je $f'(x) > 0 ,$ pa funkcija raste na svakom intervalu definisanosti. Za $x < 0$ je $f'(x) < 0 ,$ pa funkcija opada.

Pošto funkcija opada za $x < 0$ i raste za $x > 0 ,$ u tački $x = 0$ funkcija ima lokalni minimum:

T_{\text{min}}(0, 0)

8. **Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke** Računamo drugi izvod funkcije:

f''(x) = \begin{cases} \frac{2\sin x}{\cos^3 x}, & \text{za } x > 0 \\ -\frac{2\sin x}{\cos^3 x}, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Za $x > 0 ,$ znak drugog izvoda zavisi od znaka $\sin x$ i $\cos x .$ Drugi izvod je jednak nuli kada je $\sin x = 0 ,$ odnosno za $x = k\pi$ ( $k \in \mathbb{N}$ ).

Analiziramo znak drugog izvoda za $x > 0 :$

\begin{aligned} f''(x) > 0 & \quad \text{za } x \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \implies \text{funkcija je konveksna (}\cup\text{)} \\ f''(x) < 0 & \quad \text{za } x \in \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi \right) \implies \text{funkcija je konkavna (}\cap\text{)} \end{aligned}

Prevojne tačke su one u kojima drugi izvod menja znak i u kojima je funkcija definisana. To su tačke:

P_k(k\pi, 0), \quad k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}

Započni učenje

Online časovi

860.b

Beleške