PrethodniSledeći
2733.

832.b

TEKST ZADATKA

Ispitati parnost i neparnost funkcije: f(x)=sin⁡x+cosecx. f(x) = \sin x + \text{cosec} x .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen funkcije. Funkcija sin⁡x \sin x je definisana za svako x, x , dok je cosecx=1sin⁡x \text{cosec} x = \frac{1}{\sin x} definisana kada je sin⁡x≠0. \sin x \neq 0 .

Df:x≠kπ,k∈ZD_f: x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Domen je simetričan u odnosu na koordinatni početak, što je preduslov za ispitivanje parnosti. Da bismo ispitali parnost, računamo f(−x). f(-x) .

f(−x)=sin⁡(−x)+cosec(−x)f(-x) = \sin(-x) + \text{cosec}(-x)

Koristimo osobine trigonometrijskih funkcija: sinus je neparna funkcija, pa važi sin⁡(−x)=−sin⁡x. \sin(-x) = -\sin x . Takođe, kofunkcija kosekans nasleđuje tu osobinu.

cosec(−x)=1sin⁡(−x)=1−sin⁡x=−cosecx\text{cosec}(-x) = \frac{1}{\sin(-x)} = \frac{1}{-\sin x} = -\text{cosec} x

Zamenjujemo dobijene izraze u funkciju f(−x). f(-x) .

f(−x)=−sin⁡x−cosecxf(-x) = -\sin x - \text{cosec} x

Izvlačimo minus ispred zagrade kako bismo uporedili izraz sa početnom funkcijom.

f(−x)=−(sin⁡x+cosecx)=−f(x)f(-x) = -(\sin x + \text{cosec} x) = -f(x)

Pošto važi uslov f(−x)=−f(x), f(-x) = -f(x) , zaključujemo da je funkcija neparna.

Funkcija je neparna.\text{Funkcija je neparna.}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu