Sistem logaritamskih jednačina: logyx + logxy i xy = 8

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

2(\log_yx+\log_xy)=5 \\ xy=8

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačina:

x>0 \quad\land\quad y>0 \quad\land\quad x\not=1 \quad\land\quad y\not=1

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ba=\frac 1 {\log_ab}, \ a\gt0,\ b\gt0, \ a\not=1, \ b\not=1$

2(\log_yx+\frac 1{\log_yx})=5 \\ xy=8

Osloboditi se zagrade množenjem:

2\log_yx+\frac 2{\log_yx}=5 \\ xy=8

Pomnožiti izraz sa $\log_yx:$

2\log^2_yx+2=5\log_yx \\ xy=8

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

2\log^2_yx-5\log_yx+2=0 \\ xy=8

Uvesti smenu $\log_yx=t:$

2t^2-5t+2=0 \\ xy=8

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-5$ i $c=2$

t_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot2}} {2\cdot2} \implies t_1=2, \quad t_2=\frac 12

Vratiti smenu $\log_yx$ umesto $t$ i uvrstiti dobijena rešenja:

\log_yx=2 \quad\lor\quad \log_yx=\frac 12

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1,$ gde je $a=9$ tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

\log_yx=2\log_yy \quad\lor\quad \log_yx=\frac 12\log_yx

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log_yx=\log_yy^2 \quad\lor\quad \log_yx=\log_yx^{\frac 12}

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

x=y^2 \quad\lor\quad x=\sqrt{y}

Uvrstiti izraženu nepoznatu u drugu jednačinu:

y_1=2\quad\lor\quad y_2=4

Uvrštanjem dobijenih vrednosti za $y$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja za $x.$

x_1=4 \quad\lor\quad x_2=2

Konačno rešenje:

(x,y)\in \{(2,4), \ (4,2) \}

Sistem: $2(\log_yx+\log_xy)=5 \quad\land\quad xy=8$