Sistem logaritamskih jednačina sa osnovama 3 i 27

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

\log_3x+\log_3y=2+\log_32 \\ \log_{27}(x+y)=\frac23

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačina:

x>0 \quad\land\quad y>0 \quad\land\quad x+y>0

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1$

\log_3x+\log_3y=2\log_33+\log_32 \\ \log_{27}(x+y)=\frac23

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log_3x+\log_3y=\log_33^2+\log_32 \\ \log_{27}(x+y)=\frac23

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_axy=\log_ax+\log_ay, \ x\gt0,\ y \gt0,\ a\gt0, \ a\not=1$

\log_3xy=\log_39\cdot2 \\ \log_{27}(x+y)=\frac23

Drugačije zapisati osnove logaritama kako bi se sve svele na istu:

\log_3xy=\log_318\\ \log_{3^3}(x+y)=\frac23

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a^s}x=\frac 1s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\not=1$

\log_3xy=\log_318 \\ \frac 13\log_3(x+y)=\frac23

Pomnožiti donju jednačinu sa 3:

\log_3xy=\log_318 \\ \log_3(x+y)=2

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1$

\log_3xy=\log_318 \\ \log_3(x+y)=2\log_33

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log_3xy=\log_318 \\ \log_3(x+y)=\log_33^2

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

xy=18 \\ x+y=9

Izraziti jednu od nepoznatih iz druge jednačine:

xy=18 \\ x+y=9 \implies x=9-y

Uvrstiti izraženu nepoznatu u prvu jednačinu:

(9-y)y=18

Rešavanjem prve jednačine dobijaju se rešenja za $y.$

y_1=3 \quad\lor\quad y_2=6

Uvrštanjem dobijenih vrednosti za $y$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja za $x.$

x_1=6 \quad\lor\quad x_2=3

Konačno rešenje:

(x,y)\in \{(6,3), \ (3,6) \}

Sistem: $\log_3x+\log_3y=2+\log_32 \quad\land\quad \log_{27}(x+y)=\frac23$