2255. Logaritamska funkcija i njen grafik

REŠENJE ZADATKA

Logaritam $\log_{b}(a)$ je definisan ako su ispunjeni sledeći uslovi: numerus je pozitivan ( $a > 0$ ), osnova je pozitivna ( $b > 0$ ) i osnova nije jednaka jedan ( $b \neq 1$ ). Postavljamo sistem nejednačina:

\begin{cases} x^2 + x + 6 > 0 \\ x^2 - x - 6 > 0 \\ x^2 - x - 6 \neq 1 \end{cases}

Ispitujemo prvi uslov: $x^2 + x + 6 > 0 .$ Računamo diskriminantu kvadratne funkcije:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23

Pošto je diskriminanta $D < 0$ i koeficijent uz $x^2$ pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), kvadratna funkcija je uvek pozitivna. Dakle, ovaj uslov je ispunjen za svako $x \in \mathbb{R} .$

x^2 + x + 6 > 0 \implies x \in (-\infty, +\infty)

Ispitujemo drugi uslov: $x^2 - x - 6 > 0 .$ Prvo nalazimo nule funkcije rešavanjem kvadratne jednačine $x^2 - x - 6 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}

Nule su $x_1 = -2$ i $x_2 = 3 .$ Funkciju možemo zapisati kao $(x+2)(x-3) .$ Pravimo tabelu znakova:

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, 3)

x \in (3, +\infty)

x+2

-

+

+

x-3

-

-

+

x^2-x-6

+

-

+

Iz tabele vidimo da je $x^2 - x - 6 > 0$ za:

x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)

Ispitujemo treći uslov: $x^2 - x - 6 \neq 1 .$ Rešavamo jednačinu $x^2 - x - 7 = 0$ da bismo našli vrednosti koje $x$ ne sme da uzme:

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}

Konačno rešenje dobijamo presekom svih uslova. Iz drugog uslova imamo $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) ,$ uz izuzimanje vrednosti iz trećeg uslova. Proveravamo da li te vrednosti upadaju u intervale:

\frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1 - 5.38}{2} \approx -2.19 \in (-\infty, -2) \\ \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1 + 5.38}{2} \approx 3.19 \in (3, +\infty)

Domen definisanosti izraza je:

x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \setminus \left\{ \frac{1 - \sqrt{29}}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \right\}

526.v