Naći sve realne brojeve x za koje je definisan izraz logx2−x−6(x2+x+6).
REŠENJE ZADATKA
Logaritam logb(a) je definisan ako su ispunjeni sledeći uslovi: numerus je pozitivan (a>0), osnova je pozitivna (b>0) i osnova nije jednaka jedan (b=1). Postavljamo sistem nejednačina:
⎩⎨⎧x2+x+6>0x2−x−6>0x2−x−6=1
Ispitujemo prvi uslov: x2+x+6>0. Računamo diskriminantu kvadratne funkcije:
D=b2−4ac=12−4⋅1⋅6=1−24=−23
Pošto je diskriminanta D<0 i koeficijent uz x2 pozitivan (a=1>0), kvadratna funkcija je uvek pozitivna. Dakle, ovaj uslov je ispunjen za svako x∈R.
x2+x+6>0⟹x∈(−∞,+∞)
Ispitujemo drugi uslov: x2−x−6>0. Prvo nalazimo nule funkcije rešavanjem kvadratne jednačine x2−x−6=0:
x1,2=2⋅1−(−1)±(−1)2−4⋅1⋅(−6)=21±1+24=21±5
Nule su x1=−2 i x2=3. Funkciju možemo zapisati kao (x+2)(x−3). Pravimo tabelu znakova:
x∈(−∞,−2)
x∈(−2,3)
x∈(3,+∞)
x+2
−
+
+
x−3
−
−
+
x2−x−6
+
−
+
Iz tabele vidimo da je x2−x−6>0 za:
x∈(−∞,−2)∪(3,+∞)
Ispitujemo treći uslov: x2−x−6=1. Rešavamo jednačinu x2−x−7=0 da bismo našli vrednosti koje x ne sme da uzme:
x=21±1−4⋅1⋅(−7)=21±29
Konačno rešenje dobijamo presekom svih uslova. Iz drugog uslova imamo x∈(−∞,−2)∪(3,+∞), uz izuzimanje vrednosti iz trećeg uslova. Proveravamo da li te vrednosti upadaju u intervale: