2256.

Logaritamska funkcija i njen grafik

TEKST ZADATKA

Nađi sve realne brojeve x x za koje je definisan izraz log⁡1/3(x2−3x+2). \log_{1/3}(x^2 - 3x + 2) .

REŠENJE ZADATKA

Logaritamska funkcija log⁡a(f(x)) \log_a(f(x)) je definisana ako i samo ako je njen argument strogo veći od nule. Postavljamo uslov:

x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0

Prvo nalazimo nule kvadratne funkcije x2−3x+2=0 x^2 - 3x + 2 = 0 koristeći kvadratnu formulu:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo koeficijente a=1,b=−3,c=2: a=1, b=-3, c=2 :

x1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅22⋅1=3±9−82=3±12x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Rešenja su:

x1=3−12=1,x2=3+12=2x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2

Sada analiziramo znak kvadratnog trinoma (x−1)(x−2)>0 (x-1)(x-2) > 0 pomoću tabele znakova:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x−1x-1
− -
+ +
+ +
x−2x-2
− -
− -
+ +
x2−3x+2x^2-3x+2
+ +
− -
+ +

Iz tabele vidimo da je izraz pozitivan na intervalima gde je proizvod znakova plus. Dakle, domen definisanosti je:

x∈(−∞,1)∪(2,+∞)x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti