4410.

696

TEKST ZADATKA

Ivan sada ima četiri puta više godina nego što je Marko imao kada je bio dva puta mlađi od Ivana. Koliko godina sada ima Marko ako će kroz petnaest godina zajedno imati 100 godina?

REŠENJE ZADATKA

Neka je I I broj Ivanovih godina sada, a M M broj Markovih godina sada.

Kroz 15 godina, Ivan će imati I+15 I + 15 godina, a Marko M+15 M + 15 godina. Prema uslovu zadatka, njihov zbir će tada biti 100. Postavljamo prvu jednačinu i uprošćavamo je.

(I+15)+(M+15)=100  ⟹  I+M+30=100  ⟹  I+M=70(I + 15) + (M + 15) = 100 \implies I + M + 30 = 100 \implies I + M = 70

Neka je t t broj godina u prošlosti kada je Marko bio dva puta mlađi od Ivana. Tada je Ivan imao I−t I - t godina, a Marko M−t M - t godina.

Prema uslovu da je Marko tada bio dva puta mlađi od Ivana, postavljamo jednačinu:

I−t=2(M−t)I - t = 2(M - t)

Prema uslovu da Ivan sada ima četiri puta više godina nego što je Marko imao tada, postavljamo sledeću jednačinu:

I=4(M−t)I = 4(M - t)

Izražavamo M−t M - t iz prethodne jednačine.

M−t=I4M - t = \frac{I}{4}

Zamenjujemo izraz za M−t M - t u jednačinu iz prošlosti.

I−t=2⋅I4  ⟹  I−t=I2I - t = 2 \cdot \frac{I}{4} \implies I - t = \frac{I}{2}

Rešavamo jednačinu po t. t .

t=I−I2  ⟹  t=I2t = I - \frac{I}{2} \implies t = \frac{I}{2}

Zamenjujemo dobijeno t t u jednačinu M−t=I4 M - t = \frac{I}{4} kako bismo dobili vezu između M M i I. I .

M−I2=I4  ⟹  M=I4+I2  ⟹  M=3I4M - \frac{I}{2} = \frac{I}{4} \implies M = \frac{I}{4} + \frac{I}{2} \implies M = \frac{3I}{4}

Sada zamenjujemo M M u prvu jednačinu I+M=70. I + M = 70 .

I+3I4=70I + \frac{3I}{4} = 70

Množimo jednačinu sa 4 i računamo I. I .

4I+3I=280  ⟹  7I=280  ⟹  I=404I + 3I = 280 \implies 7I = 280 \implies I = 40

Računamo Markove godine zamenom I I u jednačinu za zbir godina.

40+M=70  ⟹  M=3040 + M = 70 \implies M = 30

Marko sada ima 30 godina.

M=30M = 30