4394.

690.g

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x x u zavisnosti od realnih parametara a a i b. b .

(ab+2)x+b=2a+(a+2b)x(ab + 2)x + b = 2a + (a + 2b)x
REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo sve članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a slobodne članove na desnu stranu.

(ab+2)x−(a+2b)x=2a−b(ab + 2)x - (a + 2b)x = 2a - b

Izvlačimo x x ispred zagrade na levoj strani.

(ab+2−a−2b)x=2a−b(ab + 2 - a - 2b)x = 2a - b

Faktorišemo izraz u zagradi uz nepoznatu x x grupisanjem članova.

ab−a−2b+2=a(b−1)−2(b−1)=(a−2)(b−1)\begin{aligned} ab - a - 2b + 2 &= a(b - 1) - 2(b - 1) \\ &= (a - 2)(b - 1) \end{aligned}

Zapisujemo jednačinu u uprošćenom obliku.

(a−2)(b−1)x=2a−b(a - 2)(b - 1)x = 2a - b

Analiziramo prvi slučaj: kada je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno kada je a≠2 a \neq 2 i b≠1. b \neq 1 . Tada jednačina ima jedinstveno rešenje.

x=2a−b(a−2)(b−1)x = \frac{2a - b}{(a - 2)(b - 1)}

Analiziramo drugi slučaj: kada je koeficijent uz x x jednak nuli. To se dešava ako je a=2 a = 2 ili b=1. b = 1 . Prvo razmatramo podslučaj kada je a=2. a = 2 .

(2−2)(b−1)x=2⋅2−b0⋅x=4−b\begin{aligned} (2 - 2)(b - 1)x &= 2 \cdot 2 - b \\ 0 \cdot x &= 4 - b \end{aligned}

Za a=2, a = 2 , ako je 4−b=0 4 - b = 0 odnosno b=4, b = 4 , dobijamo 0⋅x=0, 0 \cdot x = 0 , pa je svako realno x x rešenje. Ako je b≠4, b \neq 4 , dobijamo 0⋅x≠0, 0 \cdot x \neq 0 , pa jednačina nema rešenja.

{x∈R,za b=4x∈∅,za b≠4\begin{cases} x \in \mathbb{R}, & \text{za } b = 4 \\ x \in \emptyset, & \text{za } b \neq 4 \end{cases}

Sada razmatramo podslučaj kada je b=1. b = 1 .

(a−2)(1−1)x=2a−10⋅x=2a−1\begin{aligned} (a - 2)(1 - 1)x &= 2a - 1 \\ 0 \cdot x &= 2a - 1 \end{aligned}

Za b=1, b = 1 , ako je 2a−1=0 2a - 1 = 0 odnosno a=12, a = \frac{1}{2} , dobijamo 0⋅x=0, 0 \cdot x = 0 , pa je svako realno x x rešenje. Ako je a≠12, a \neq \frac{1}{2} , dobijamo 0⋅x≠0, 0 \cdot x \neq 0 , pa jednačina nema rešenja.

{x∈R,za a=12x∈∅,za a≠12\begin{cases} x \in \mathbb{R}, & \text{za } a = \frac{1}{2} \\ x \in \emptyset, & \text{za } a \neq \frac{1}{2} \end{cases}