Jednačina sa proizvodom ab i parametrima a i b

Prebacujemo sve članove koji sadrže nepoznatu $x$ na levu stranu, a slobodne članove na desnu stranu.

(ab + 2)x - (a + 2b)x = 2a - b

Izvlačimo $x$ ispred zagrade na levoj strani.

(ab + 2 - a - 2b)x = 2a - b

Faktorišemo izraz u zagradi uz nepoznatu $x$ grupisanjem članova.

\begin{aligned} ab - a - 2b + 2 &= a(b - 1) - 2(b - 1) \\ &= (a - 2)(b - 1) \end{aligned}

Zapisujemo jednačinu u uprošćenom obliku.

(a - 2)(b - 1)x = 2a - b

Analiziramo prvi slučaj: kada je koeficijent uz $x$ različit od nule, odnosno kada je $a \neq 2$ i $b \neq 1 .$ Tada jednačina ima jedinstveno rešenje.

x = \frac{2a - b}{(a - 2)(b - 1)}

Analiziramo drugi slučaj: kada je koeficijent uz $x$ jednak nuli. To se dešava ako je $a = 2$ ili $b = 1 .$ Prvo razmatramo podslučaj kada je $a = 2 .$

\begin{aligned} (2 - 2)(b - 1)x &= 2 \cdot 2 - b \\ 0 \cdot x &= 4 - b \end{aligned}

Za $a = 2 ,$ ako je $4 - b = 0$ odnosno $b = 4 ,$ dobijamo $0 \cdot x = 0 ,$ pa je svako realno $x$ rešenje. Ako je $b \neq 4 ,$ dobijamo $0 \cdot x \neq 0 ,$ pa jednačina nema rešenja.

\begin{cases} x \in \mathbb{R}, & \text{za } b = 4 \\ x \in \emptyset, & \text{za } b \neq 4 \end{cases}

Sada razmatramo podslučaj kada je $b = 1 .$

\begin{aligned} (a - 2)(1 - 1)x &= 2a - 1 \\ 0 \cdot x &= 2a - 1 \end{aligned}

Za $b = 1 ,$ ako je $2a - 1 = 0$ odnosno $a = \frac{1}{2} ,$ dobijamo $0 \cdot x = 0 ,$ pa je svako realno $x$ rešenje. Ako je $a \neq \frac{1}{2} ,$ dobijamo $0 \cdot x \neq 0 ,$ pa jednačina nema rešenja.

\begin{cases} x \in \mathbb{R}, & \text{za } a = \frac{1}{2} \\ x \in \emptyset, & \text{za } a \neq \frac{1}{2} \end{cases}

Započni učenje

Privatni časovi

690.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci