5372. Leva i desna granična vrednost

Iz gradiva: ako postoje leva i desna granična vrednost u tački $x_0$ i jednake su broju $a ,$ onda postoji i granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=a .$ Funkcija je neprekidna u tački $x_0$ ako je u njoj definisana, ako postoji $\lim_{x\to x_0}f(x)$ i ako je $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$ Ako je funkcija definisana u $x_0 ,$ ali nije neprekidna, $x_0$ je tačka prekida. Dakle, za neprekidnost proveravamo tri broja: levu graničnu vrednost, desnu graničnu vrednost i vrednost $f(x_0)$ — sva tri moraju biti jednaka.

Po definiciji granične vrednosti, neprekidnost u tački $x_0$ znači: za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da iz $|x-x_0|<\delta$ sledi $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon .$ Rečima: koliko god malo odstupanje $\varepsilon$ vrednosti dozvolimo, možemo naći dovoljno malu okolinu tačke $x_0$ u kojoj funkcija ne odstupa od $f(x_0)$ više od $\varepsilon .$ Naš zadatak je da za dato $\varepsilon$ pronađemo odgovarajuće $\delta .$

Apsolutna vrednost $|a|$ je rastojanje broja $a$ od nule, pa je $|x-x_0|$ rastojanje između $x$ i $x_0 .$ Po definiciji:

|a|=\begin{cases}a, & \text{za } a\geq0\\ -a, & \text{za } a<0\end{cases}

Razliku kubova rastavljamo, pa je razlika vrednosti proizvod rastojanja $|x-x_0|$ i još jednog činioca:

|x^3-x_0^3|=|x-x_0|\cdot|x^2+xx_0+x_0^2|

Drugi činilac zavisi od $x ,$ pa ga ograničimo. Ako se dogovorimo da je $\delta\leq1 ,$ onda iz $|x-x_0|<1$ sledi da je $x$ između $x_0-1$ i $x_0+1 ,$ pa je $|x|<|x_0|+1 .$ Tada je svaki od tri sabirka najviše $(|x_0|+1)^2 :$

|x^2+xx_0+x_0^2|\leq|x|^2+|x||x_0|+|x_0|^2\leq3(|x_0|+1)^2=K

Broj $K$ zavisi samo od $x_0 ,$ ne od $x .$ Biramo $\delta$ kao manji od brojeva $1$ i $\frac{\varepsilon}{K} .$ Tada je:

|x-x_0|<\delta \implies |x^3-x_0^3|<\delta\cdot K\leq\frac{\varepsilon}{K}\cdot K=\varepsilon

Primer: za $x_0=2$ je $K=3\cdot9=27$ ; za $\varepsilon=0{,}27$ biramo $\delta=0{,}01 .$ Zaista, $2{,}01^3\approx8{,}1206 ,$ a $8{,}1206-8=0{,}1206<0{,}27 .$

Rešenje: za svako $\varepsilon>0$ postoji odgovarajuće $\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3(|x_0|+1)^2}\right\} ,$ pa je $x^3$ neprekidna u svakoj tački.

Započni učenje

Online časovi

142.g

Beleške