142.b

Iz gradiva: ako postoje leva i desna granična vrednost u tački $x_0$ i jednake su broju $a ,$ onda postoji i granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=a .$ Funkcija je neprekidna u tački $x_0$ ako je u njoj definisana, ako postoji $\lim_{x\to x_0}f(x)$ i ako je $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$ Ako je funkcija definisana u $x_0 ,$ ali nije neprekidna, $x_0$ je tačka prekida. Dakle, za neprekidnost proveravamo tri broja: levu graničnu vrednost, desnu graničnu vrednost i vrednost $f(x_0)$ — sva tri moraju biti jednaka.

Po definiciji granične vrednosti, neprekidnost u tački $x_0$ znači: za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da iz $|x-x_0|<\delta$ sledi $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon .$ Rečima: koliko god malo odstupanje $\varepsilon$ vrednosti dozvolimo, možemo naći dovoljno malu okolinu tačke $x_0$ u kojoj funkcija ne odstupa od $f(x_0)$ više od $\varepsilon .$ Naš zadatak je da za dato $\varepsilon$ pronađemo odgovarajuće $\delta .$

Zato je dovoljno uzeti $\delta=\varepsilon :$ ako je $|x-x_0|<\delta=\varepsilon ,$ onda je i $|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\varepsilon .$ Na primer, za $\varepsilon=0{,}01$ je dovoljno da $x$ bude na rastojanju manjem od $0{,}01$ od $x_0 .$

Rešenje: za svako $\varepsilon>0$ odgovara $\delta=\varepsilon ,$ pa je funkcija $f(x)=x$ neprekidna u svakoj tački.