5356. Leva i desna granična vrednost

Iz gradiva: ako postoje leva i desna granična vrednost u tački $x_0$ i jednake su broju $a ,$ onda postoji i granična vrednost $\lim_{x\to x_0}f(x)=a .$ Funkcija je neprekidna u tački $x_0$ ako je u njoj definisana, ako postoji $\lim_{x\to x_0}f(x)$ i ako je $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$ Ako je funkcija definisana u $x_0 ,$ ali nije neprekidna, $x_0$ je tačka prekida. Dakle, za neprekidnost proveravamo tri broja: levu graničnu vrednost, desnu graničnu vrednost i vrednost $f(x_0)$ — sva tri moraju biti jednaka.

Sva tri dela su neprekidne funkcije, pa proveravamo samo tačke spajanja $-\frac\pi2$ i $\frac\pi2 .$ Koristimo $\sin\left(-\frac\pi2\right)=-1 ,$ $\sin\frac\pi2=1 ,$ $\cos\frac\pi2=0 .$

Tačka $-\frac\pi2 :$ levo je $-2\sin x ,$ desno $a\sin x+b ,$ a $f\left(-\frac\pi2\right)=-2\cdot(-1)=2 :$

\lim_{x\to-\frac\pi2-}(-2\sin x)=2, \qquad \lim_{x\to-\frac\pi2+}(a\sin x+b)=-a+b

Tačka $\frac\pi2 :$ levo je $a\sin x+b ,$ desno $\cos x ,$ a $f\left(\frac\pi2\right)=0 :$

\lim_{x\to\frac\pi2-}(a\sin x+b)=a+b, \qquad \lim_{x\to\frac\pi2+}\cos x=0

Dobijamo sistem dve jednačine. Saberemo ih, pa dobijamo $2b=2 :$

\begin{cases}-a+b=2\\ a+b=0\end{cases} \implies b=1,\ a=-1

Provera: srednji deo je $-\sin x+1$ ; u $-\frac\pi2$ daje $1+1=2 ,$ a u $\frac\pi2$ daje $-1+1=0 .$ Oba se slažu sa susednim delovima.

Rešenje: $a=-1 ,$ $b=1 .$

Započni učenje

Online časovi

138.b

Beleške