3066.

25.g

TEKST ZADATKA

Ispitati da li je sledeća formula tačna:

(\forall x \in \mathbb{Z})( orall y \in \mathbb{Z})(xy \in \mathbb{Z}) .

(\forall x \in \mathbb{Z})( orall y \in \mathbb{Z})(xy \in \mathbb{Z})
REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo značenje kvantifikatora i skupova u formuli. Simbol ∀ \forall označava univerzalni kvantifikator ('za svako'), dok Z \mathbb{Z} predstavlja skup celih brojeva.

Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z} = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}

Formula tvrdi da je proizvod bilo koja dva cela broja x x i y y takođe ceo broj. Ovo svojstvo se u matematici naziva zatvorenost skupa Z \mathbb{Z} u odnosu na operaciju množenja.

x∈Z,y∈Z  ⟹  x⋅y∈Zx \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{Z} \implies x \cdot y \in \mathbb{Z}

Poznato je iz definicije skupa celih brojeva da je operacija množenja binarna operacija unutar tog skupa. To znači da množenjem bilo koja dva cela broja (pozitivna, negativna ili nule) uvek dobijamo rezultat koji nema decimalni deo i pripada skupu Z. \mathbb{Z} .

3∈Z,−5∈Z  ⟹  3⋅(−5)=−15∈Z3 \in \mathbb{Z}, -5 \in \mathbb{Z} \implies 3 \cdot (-5) = -15 \in \mathbb{Z}

Zaključujemo da je tvrđenje tačno za sve elemente domena.

τ((∀x∈Z)(∀y∈Z)(xy∈Z))=⊤\tau((\forall x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z})(xy \in \mathbb{Z})) = \top