1654.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

U funkciji y=−x2+(m+3)x−3m+1 y = -x^2 + (m + 3)x - 3m + 1 odrediti realan parametar m m tako da funkcija ima maksimum za x=3, x = 3 , a zatim ispitati njen tok i skicirati grafik.

REŠENJE ZADATKA

Kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c y = ax^2 + bx + c dostiže svoju ekstremnu vrednost (maksimum ako je a<0 a < 0 ) u tački čija je apscisa data formulom:

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Iz date funkcije očitavamo koeficijente:

a=−1,b=m+3,c=−3m+1a = -1, \quad b = m + 3, \quad c = -3m + 1

Pošto je a=−1<0, a = -1 < 0 , funkcija zaista ima maksimum. Izjednačavamo formulu za apscisu temena sa datom vrednošću x=3. x = 3 .

−m+32(−1)=3-\frac{m + 3}{2(-1)} = 3

Rešavamo dobijenu jednačinu po parametru m. m .

m+32=3  ⟹  m+3=6  ⟹  m=3\frac{m + 3}{2} = 3 \implies m + 3 = 6 \implies m = 3

Zamenjujemo dobijenu vrednost parametra m=3 m = 3 u početnu funkciju.

y=−x2+(3+3)x−3⋅3+1y = -x^2 + (3 + 3)x - 3 \cdot 3 + 1

Sređujemo izraz da bismo dobili konačan oblik funkcije.

y=−x2+6x−8y = -x^2 + 6x - 8

Sada ispitujemo tok funkcije. Prvo određujemo domen. Pošto je funkcija polinom, definisana je za sve realne brojeve.

D=R=(−∞,+∞)D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Određujemo nule funkcije rešavanjem kvadratne jednačine y=0. y = 0 .

−x2+6x−8=0-x^2 + 6x - 8 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine.

x1,2=−6±62−4⋅(−1)⋅(−8)2⋅(−1)=−6±36−32−2=−6±2−2x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{-2} = \frac{-6 \pm 2}{-2}

Nule funkcije su tačke u kojima grafik seče x-osu.

x1=2,x2=4x_1 = 2, \quad x_2 = 4

Određujemo presek sa y-osom zamenom x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y(0)=−02+6⋅0−8=−8y(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 8 = -8

Određujemo teme parabole T(xT,yT). T(x_T, y_T) . Već znamo da je apscisa temena xT=3. x_T = 3 . Računamo ordinatu temena zamenom x=3 x = 3 u funkciju.

yT=−32+6⋅3−8=−9+18−8=1y_T = -3^2 + 6 \cdot 3 - 8 = -9 + 18 - 8 = 1

Teme parabole je tačka maksimuma.

T(3,1)T(3, 1)

Određujemo znak funkcije. Pošto je parabola okrenuta nadole (a<0 a < 0 ), funkcija je pozitivna između nula, a negativna van tog intervala.

x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)
x∈(2,4)x \in (2, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
−x2+6x−8-x^2 + 6x - 8
−-
++
−-

Određujemo monotonost funkcije. Funkcija raste do temena, a zatim opada.

y↗za x∈(−∞,3),y↘za x∈(3,+∞)y \nearrow \text{za } x \in (-\infty, 3), \quad y \searrow \text{za } x \in (3, +\infty)

Na osnovu svih ispitanih svojstava (nule, presek sa y-osom, teme, znak i monotonost), možemo skicirati grafik funkcije. Parabola je okrenuta nadole, prolazi kroz tačke (2,0), (2,0) , (4,0) (4,0) i (0,−8), (0,-8) , sa temenom u (3,1). (3,1) .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti