Parametar m za maksimum u x = 3 i tok funkcije

Kvadratna funkcija oblika $y = ax^2 + bx + c$ dostiže svoju ekstremnu vrednost (maksimum ako je $a < 0$ ) u tački čija je apscisa data formulom:

x = -\frac{b}{2a}

Iz date funkcije očitavamo koeficijente:

a = -1, \quad b = m + 3, \quad c = -3m + 1

Pošto je $a = -1 < 0 ,$ funkcija zaista ima maksimum. Izjednačavamo formulu za apscisu temena sa datom vrednošću $x = 3 .$

-\frac{m + 3}{2(-1)} = 3

Rešavamo dobijenu jednačinu po parametru $m .$

\frac{m + 3}{2} = 3 \implies m + 3 = 6 \implies m = 3

Zamenjujemo dobijenu vrednost parametra $m = 3$ u početnu funkciju.

y = -x^2 + (3 + 3)x - 3 \cdot 3 + 1

Sređujemo izraz da bismo dobili konačan oblik funkcije.

y = -x^2 + 6x - 8

Sada ispitujemo tok funkcije. Prvo određujemo domen. Pošto je funkcija polinom, definisana je za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Određujemo nule funkcije rešavanjem kvadratne jednačine $y = 0 .$

-x^2 + 6x - 8 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine.

x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{-2} = \frac{-6 \pm 2}{-2}

Nule funkcije su tačke u kojima grafik seče x-osu.

x_1 = 2, \quad x_2 = 4

Određujemo presek sa y-osom zamenom $x = 0$ u jednačinu funkcije.

y(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 8 = -8

Određujemo teme parabole $T(x_T, y_T) .$ Već znamo da je apscisa temena $x_T = 3 .$ Računamo ordinatu temena zamenom $x = 3$ u funkciju.

y_T = -3^2 + 6 \cdot 3 - 8 = -9 + 18 - 8 = 1

Teme parabole je tačka maksimuma.

T(3, 1)

Određujemo znak funkcije. Pošto je parabola okrenuta nadole ( $a < 0$ ), funkcija je pozitivna između nula, a negativna van tog intervala.

x \in (-\infty, 2)

x \in (2, 4)

x \in (4, +\infty)

-x^2 + 6x - 8

-

+

-

Određujemo monotonost funkcije. Funkcija raste do temena, a zatim opada.

y \nearrow \text{za } x \in (-\infty, 3), \quad y \searrow \text{za } x \in (3, +\infty)

Na osnovu svih ispitanih svojstava (nule, presek sa y-osom, teme, znak i monotonost), možemo skicirati grafik funkcije. Parabola je okrenuta nadole, prolazi kroz tačke $(2,0) ,$ $(4,0)$ i $(0,-8) ,$ sa temenom u $(3,1) .$

Započni učenje

Privatni časovi

271

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci